ГАЛУА ГРУППА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ

группа $G$ дифференциальных автоморфизмов дифференциального поля $K$, тождественных на дифференциальном подполе $k \subset K$ (дифференциальное поле - это поле с заданным на нем дифференцированием). Роль дифференциальной Г. г. в теории линейных дифференциальных уравнений аналогична роли обычной группы Галуа в теории алгебраич. уравнений. Пусть $k-$ дифференциальное подполе поля мероморфных функций от $z$ с дифференцированием $\frac{d}{d z}$, $\bar{k} \supset \mathbb{C}$, а $K$ порождается над $k$ элементами $y_{i j}$ фундаментальной матрицы решений уравнения $y^{\prime}=A y, A \in \operatorname{Mat}(n, k)$. Тогда: 1) возможность выразить $y_{i j}$ через элементы $k$ с помощью операций,$+ \times$, взятия первообразной, взятия экспоненты первообразной и решения алгебраич. уравнений эквивалентна разрешимости связной компоненты единицы группы $G$; 2) $G$ - алгебраич. подгруппа в $G L(n, \mathbb{C})$, то есть $G$ выделяется в $G L(n, \mathbb{C})$ уравнениями, полиномиальными относительно матричных элементов; 3) если $k-$ поле рациональных функций, а особые точки уравнения $y^{\prime}=A y$ регулярны, то $G-$ наименьшая алгебраич. подгруппа, содержащая группу монодромии уравнения.

группа $G$ дифференциальных автоморфизмов дифференциального поля $K$, тождественных на дифференциальном подполе $k \subset K$ (дифференциальное поле - это поле с заданным на нем дифференцированием). Роль дифференциальной Г. г. в теории линейных дифференциальных уравнений аналогична роли обычной группы Галуа в теории алгебраич. уравнений. Пусть $k-$ дифференциальное подполе поля мероморфных функций от $z$ с дифференцированием $\frac{d}{d z}$, $\bar{k} \supset \mathbb{C}$, а $K$ порождается над $k$ элементами $y_{i j}$ фундаментальной матрицы решений уравнения $y^{\prime}=A y, A \in \operatorname{Mat}(n, k)$. Тогда: 1) возможность выразить $y_{i j}$ через элементы $k$ с помощью операций,$+ \times$, взятия первообразной, взятия экспоненты первообразной и решения алгебраич. уравнений эквивалентна разрешимости связной компоненты единицы группы $G$; 2) $G$ - алгебраич. подгруппа в $G L(n, \mathbb{C})$, то есть $G$ выделяется в $G L(n, \mathbb{C})$ уравнениями, полиномиальными относительно матричных элементов; 3) если $k-$ поле рациональных функций, а особые точки уравнения $y^{\prime}=A y$ регулярны, то $G-$ наименьшая алгебраич. подгруппа, содержащая группу монодромии уравнения.