ГАМИЛЬТОНА ФУНКЦИЯ; НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА

вид, к которому можно привести Гамильтона функцию $H$ в окрестности: а) положения равновесия, б) замкнутой траектории с помощью канонической замены координат [в случае a) предполагается, что $H$ не зависит или периодически зависит от времени, а в случае б) - что $H$ не зависит от времени]. Теорема. Пусть в окрестности точки $O \in \mathbb{R}^{2 N}$ задана $C^{\infty}$-гладкая Г. ф. \[ H=H(p, q)=O\left(|p|^{2}+|q|^{2}\right) \] причем все собственные числа $\pm i \omega_{1}, \ldots, \pm i \omega_{n}$ линеаризации в 0 соответствующего гамильтонова векторного поля чисто мнимы и нерезонансны, то есть $m_{1} \omega_{1}+\ldots+m_{n} \omega_{n} \neq 0$ для любого набора целых чисел $m_{1}, \ldots, m_{n}$, не все из к-рых равны 0. Тогда для всякого натурального $N$ существует сохраняющая точку $O$ аналитич. канонич. замена координат $p=p(\xi, \eta), q=q(\xi, \eta)$, приводящая $H$ к виду \[ H(p(\xi, \eta), q(\xi, \eta))=F(\tau)+R(\xi, \eta) \] где $\tau=\left(\tau_{1}, \ldots, \tau_{n}\right), \tau_{k}=\left(\xi_{k}^{2}+\eta_{k}^{2}\right) / 2$, а остаточный член $R=O\left(|\xi|^{N}+|\eta|^{N}\right)$. Функция $F$ называется нормальной формой Биркгофа (см. [1]). Полностью устранить $R$ при $n \geqslant 2$ нельзя даже для аналитич. гамильтонианов $H$ (см. [4]). Более сложная нормальная форма, отвечающая присутствию резонансов, называется нормальной формой Густавсона (см. [5]). Основное преимущество нормальной формы Г. ф. заключается в наличии дополнительных первых интегралов, благодаря чему оказывается возможным понизить число степеней свободы. Напр., система с гамильтонианом в нормальной форме Биркгофа имеет полный набор интегралов в инволюции $\tau_{1}, \ldots, \tau_{n}$ и интегрируется.

вид, к которому можно привести Гамильтона функцию $H$ в окрестности: а) положения равновесия, б) замкнутой траектории с помощью канонической замены координат [в случае a) предполагается, что $H$ не зависит или периодически зависит от времени, а в случае б) - что $H$ не зависит от времени]. Теорема. Пусть в окрестности точки $O \in \mathbb{R}^{2 N}$ задана $C^{\infty}$-гладкая Г. ф. \[ H=H(p, q)=O\left(|p|^{2}+|q|^{2}\right) \] причем все собственные числа $\pm i \omega_{1}, \ldots, \pm i \omega_{n}$ линеаризации в 0 соответствующего гамильтонова векторного поля чисто мнимы и нерезонансны, то есть $m_{1} \omega_{1}+\ldots+m_{n} \omega_{n} \neq 0$ для любого набора целых чисел $m_{1}, \ldots, m_{n}$, не все из к-рых равны 0. Тогда для всякого натурального $N$ существует сохраняющая точку $O$ аналитич. канонич. замена координат $p=p(\xi, \eta), q=q(\xi, \eta)$, приводящая $H$ к виду \[ H(p(\xi, \eta), q(\xi, \eta))=F(\tau)+R(\xi, \eta) \] где $\tau=\left(\tau_{1}, \ldots, \tau_{n}\right), \tau_{k}=\left(\xi_{k}^{2}+\eta_{k}^{2}\right) / 2$, а остаточный член $R=O\left(|\xi|^{N}+|\eta|^{N}\right)$. Функция $F$ называется нормальной формой Биркгофа (см. [1]). Полностью устранить $R$ при $n \geqslant 2$ нельзя даже для аналитич. гамильтонианов $H$ (см. [4]). Более сложная нормальная форма, отвечающая присутствию резонансов, называется нормальной формой Густавсона (см. [5]). Основное преимущество нормальной формы Г. ф. заключается в наличии дополнительных первых интегралов, благодаря чему оказывается возможным понизить число степеней свободы. Напр., система с гамильтонианом в нормальной форме Биркгофа имеет полный набор интегралов в инволюции $\tau_{1}, \ldots, \tau_{n}$ и интегрируется.