ГАМИЛЬТОНА-ОСТРОГРАДСКОГО ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ

один из вариационных принципов классической механики: в действительном движении системы действие по Гамильтону имеет стационарное значение по сравнению с любыми бесконечно близкими кинематически возможными движениями, для которых начальное и конечное положения системы одинаковы с соответствующими положениями для действительного движения и время движения одинаково. Пусть известны положения $P_{0}$ и $P_{1}$ голономной системы в моменты времени $t_{0}$ и $t_{1}$ в нек-ром ее действительном движении под действием заданных сил $F_{i}\left(t, r_{j}, \dot{r}_{j}\right) \in C^{1}$ и сил реакций. В этом движении положения $r_{i}$ системы будут функциями времени, к-рые удовлетворяют связям и принимают для $t=t_{0}$ и $t=t_{1}$ значения, отвечающие положениям $P_{0}$ и $P_{1}$. Пусть $r_{i}+\delta r_{i}-$ нек-рые функции времени класса $C^{2}$, достаточно близкие к $r_{i}(t)$, удовлетворяющие связям и принимающие для $t=t_{0}$ и $t=t_{1}$ те же значения, что и $r_{i}(t)$. При этом $\delta r_{i}$ уничтожаются при $t=t_{0}$ и $t=t_{1}$ и имеют смысл возможных перемещений. Если считать $F_{i}=\operatorname{grad} r_{i} U$, то \[ \delta S=0, \quad S=\int_{t_{0}}^{t_{1}}(T+U) d t, \] где функционал $S$ называется действием по Гамильтону за промежуток времени $t_{1}-t_{0}$, а $T-$ кинетическая и $U-$ потенциальная энергии системы. В случае непотенциальных сил Г.-О.П. выражается уравнением \[ \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(\delta T+\sum_{i} F_{i} \cdot \delta r_{i}\right) d t=0 \] то есть, если $r_{i}(t)$ - функции времени, соответствующие действительному движению системы, то интеграл в (2) равен нулю для всех вариаций функций $r_{i}(t)$, совместимых со связями и уничтожающихся на обоих пределах интеграла. Равенства (1) и (2) представляют собой необходимые и достаточные условия для действительности движения системы под действием заданных сил. Уравнение (2) справедливо и для неголономных систем, однако для последних движение $r_{i}+\delta r_{i}$ не является, вообще говоря, кинематически возможным; уравнение (1) несправедливо для неголономных систем. Принцип предложен У. Гамильтоном (W. Hamilton, 1834-35) и обобщен М. В. Остроградским (1848). См. также Наименьшего действия принцип. В. В. Румянцев.

один из вариационных принципов классической механики: в действительном движении системы действие по Гамильтону имеет стационарное значение по сравнению с любыми бесконечно близкими кинематически возможными движениями, для которых начальное и конечное положения системы одинаковы с соответствующими положениями для действительного движения и время движения одинаково. Пусть известны положения $P_{0}$ и $P_{1}$ голономной системы в моменты времени $t_{0}$ и $t_{1}$ в нек-ром ее действительном движении под действием заданных сил $F_{i}\left(t, r_{j}, \dot{r}_{j}\right) \in C^{1}$ и сил реакций. В этом движении положения $r_{i}$ системы будут функциями времени, к-рые удовлетворяют связям и принимают для $t=t_{0}$ и $t=t_{1}$ значения, отвечающие положениям $P_{0}$ и $P_{1}$. Пусть $r_{i}+\delta r_{i}-$ нек-рые функции времени класса $C^{2}$, достаточно близкие к $r_{i}(t)$, удовлетворяющие связям и принимающие для $t=t_{0}$ и $t=t_{1}$ те же значения, что и $r_{i}(t)$. При этом $\delta r_{i}$ уничтожаются при $t=t_{0}$ и $t=t_{1}$ и имеют смысл возможных перемещений. Если считать $F_{i}=\operatorname{grad} r_{i} U$, то \[ \delta S=0, \quad S=\int_{t_{0}}^{t_{1}}(T+U) d t, \] где функционал $S$ называется действием по Гамильтону за промежуток времени $t_{1}-t_{0}$, а $T-$ кинетическая и $U-$ потенциальная энергии системы. В случае непотенциальных сил Г.-О.П. выражается уравнением \[ \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(\delta T+\sum_{i} F_{i} \cdot \delta r_{i}\right) d t=0 \] то есть, если $r_{i}(t)$ - функции времени, соответствующие действительному движению системы, то интеграл в (2) равен нулю для всех вариаций функций $r_{i}(t)$, совместимых со связями и уничтожающихся на обоих пределах интеграла. Равенства (1) и (2) представляют собой необходимые и достаточные условия для действительности движения системы под действием заданных сил. Уравнение (2) справедливо и для неголономных систем, однако для последних движение $r_{i}+\delta r_{i}$ не является, вообще говоря, кинематически возможным; уравнение (1) несправедливо для неголономных систем. Принцип предложен У. Гамильтоном (W. Hamilton, 1834-35) и обобщен М. В. Остроградским (1848). См. также Наименьшего действия принцип. В. В. Румянцев.