ГАМИЛЬТОНОВА СИСТЕМА

частный случай динамической системы, описывающей физические процессы без диссипации; соответствующие дифференциальные уравнения можно представить в следующей симметричной форме (Гамильтона уравнения): \[ \dot{p}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}, \quad \dot{q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \quad i=1, \ldots, n, \] где $H(p, q, t)$, называемая Гамильтона функцией, имеет обычно смысл энергии системы, а $q_{i}$ и $p_{i}$ - обобщенные координаты и импульсы, $n$ - число степеней свободы системы. Ниже рассматриваются автономные гамильтоновы системы, в к-рых функция $H$ не зависит явно от времени $t$. В каждой точке $(p, q)$ фазового пространства вектор $\left(-\partial H / \partial q_{i}, \partial H / \partial p_{i}\right)$ задает поле фазовой скорости, касательное к фазовым траекториям. Возникает наглядный образ движения Г. с. как фазового потока. Фазовый поток сохраняет элемент объема в фазовом пространстве, то есть при движении по траекториям системы $\left(^{*}\right)$ фазовый объем не меняется (Лиувилля теорема). Отсюда следует, что Г. с. в фазовом пространстве не может иметь множеств, к к-рым все траектории из целой области притягиваются асимптотически. Более того, почти все траектории, совершающие финитное движение, являются неблуждающими, то есть почти всякая движущаяся точка многократно возвращается в окрестность своего исходного положения (Пуанкаре теорема о возвращении). Производная функции $F(p, q)$ по направлению вектора фазовой скорости в данной точке $(p, q)$ определяет изменение $F$ вдоль траектории и равна \[ \dot{F}=-\frac{\partial F}{\partial p} \frac{\partial H}{\partial q}+\frac{\partial F}{\partial q} \frac{\partial H}{\partial p}=\{F, H\} \] где $\{F, H\}$ называется скобкой Пуассона функций $F$ и $H$. Если $\dot{F} \equiv 0$, то есть $\{F, H\} \equiv 0$, то $F$ не меняется вдоль траектории и является первым интегралом (интегралом движения) системы (*). В частности, интегралом системы (*) является функция $H$, поэтому фазовое пространство Г. с. расслаивается на гиперповерхности $H=h=\mathrm{const}$; траектория, начинающаяся на данной гиперповерхности, никогда ее не покидает. Дополнительные интегралы Г.с. часто получаются как следствие инвариантности $H$ относительно нек-рой группы преобразований (см. Нетер теорема). Напр., пусть функция $H$ инвариантна относительно сдвигов $s$ вдоль оси $q_{1}$, то есть \[ H\left(p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}+s, q_{2}, \ldots, q_{n}\right)=H\left(p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}\right) \] для любого $s$. Тогда $H$ не зависит от $q_{1}$, поэтому $\dot{p}_{1}=-\partial H / \partial q_{1} \equiv 0$ и $F(p, q)=p_{1}$ - интеграл движения; координата $q_{1}$ называется в этом случае циклической. Интегрируемые системы являются простейшим типом Г. с. Они имеют кроме функции $H=H_{1}$ еще $n-1$ интегралов $H_{2}, \ldots, H_{n}$, причем попарные скобки Пуассона $\left\{H_{i}, H_{j}\right\} \equiv 0$. Интегрируемость приводит к следующей картине движения Г. с. Пусть градиенты функций $H_{i}$ линейно независимы в изучаемой области фазового пространства, а движение финитно и происходит внутри области. Любая траектория остается в пересечении гиперповерхностей $H_{i}(p, q)=h_{i}$ с фиксированными $h_{i}$. Компонента этого пересечения топологически эквивалентна $n$-мерному тору $T^{n}\left(T^{1}\right.$ - обычная окружность, $T^{2}-$ произведение двух окружностей, поверхность «бублика», стандартный тор $T^{n}$ - это множество в $\mathbb{R}^{2 n}=\mathbb{R}^{2} \times \ldots \times \mathbb{R}^{2}$, к-рое при проекции на каждое $\mathbb{R}^{2}$ дает окружность). Можно так задать циклич. координаты $\left(\varphi_{1}, \ldots\right.$, $\left.\varphi_{n}\right)$ на торе $T^{n}$, что движение по тору определяется уравнениями $\dot{\varphi}_{i}=\omega_{i}, i=1, \ldots, n$, где $\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right)$ - вектор частот, то есть движение условно периодично. Вся область, где градиенты $H_{i}$ линейно независимы, расслоена на такие торы; можно ввести специальные координаты $(I, \varphi)$ (переменные действие - угол), в к-рых $H=H(I)$. Движение на самом торе зависит от частот $\omega$ (к-рые, вообще говоря, меняются от тора к тору). Если между частотами $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ нет линейных зависимостей вида $n_{i} \omega_{i}=0$ с целыми коэффициентами, то траектория подходит сколь угодно близко к любой точке тора. Если же существуют соотношения $\sum_{i} n_{i} \omega_{i}=0$ (так наз. резонанс частот), то $n$-мерный тор $T^{n}$ расслаивается на торы меньшей размерности $T^{k}, n-k$ равно числу независимых линейных соотношений. Строение множества $\left\{H_{i}=h_{i}\right\}, i=1, \ldots, n$, содержащего точки, где градиенты функций $H_{i}$ зависимы, может быть различным. В частности, оно может содержать вырожденные торы (размерности меньшей $n$ ), к к-рым асимптотически приближаются другие траектории, образуя так наз. «усатый», или «седловой», тор. Вырожденным случаем седлового тора является седловое периодич. движение Г, к-рое изображено на рис. 1 пунктирной линией. Рис. 1. Часть трехмерного уровня энергии.  См. также Интегрируемая гамильтонова система. Неинтегрируемые системы. Обычно интегрируемые Г. с. получаются при нек-рых специальных значениях параметров, входящих в $H$. Пусть, для простоты, имеется один малый параметр $\varepsilon$ и при $\varepsilon=0$ система интегрируема. Тогда в области, где введены переменные действие - угол $(I, \varphi)$, ее функцию Гамильтона можно записать в виде \[ H=H_{0}(I)+\varepsilon H_{1}(I, \varphi, \varepsilon) \] А. Пуанкаре (H. Poincaré) считал изучение такой Г.с. «основной задачей динамики». Движение в такой Г. с. для большинства начальных условий описывается КАМ-теорией [А. Н. Колмогоров, В. И. Арнольд, Ю. Мозер (J. Moser)]. При малых $\varepsilon$ основная часть торов интегрируемой Г. с. сохраняется, лишь слегка деформируясь; движение на каждом таком торе остается условно периодическим. Но разрушение структуры интегрируемой Г. с. все же происходит, одной из его причин является расщепление ранее совпадавших устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодич. движений (см. периодич. траекторию Г на рис. 1). В окрестности этого множества образуется так наз. стохастич. слой, движение внутри к-рого крайне нерегулярно и практически неотличимо от случайного. Нек-рое представление о нем дает рис. 2, где представлено поведение следов устойчивого и неустойчивого многообразий седловой траектории $\Gamma$ на секущей площадке П (см. рис. 1). Кроме стохастич. слоев, возникающих в окрестности седловых периодич. движений, образуются также стохастич. слои (гораздо более узкие) из-за разрушения нек-рой малой части торов, в первую очередь тех, движение на к-рых было чисто периодическим $\left(\omega_{i}=n_{i} v, n_{i}\right.$ - целые, $\left.i=1, \ldots, n\right)$. При разрушении такого тора образуется «гирлянда» из седловых и устойчивых периодич. движений (см. рис. 3). Устойчивые многообразия седловых периодич. движений пересекаются, и образуется стохастич.  Рис. 2. Стохастический слой.  Рис. 3. Разрушенный тор. слой. Таким образом, фазовое пространство Г.с., близкой к интегрируемой, характеризуется свойством разделенности: в большей части его движение похоже на поведение интегрируемой Г.с., траектории лежат на торах, заполненных условнопериодич. траекториями. В то же время в нек-рой части движение приобретает свойства случайного процесса (квазислучайно). Следует отметить, что в случае двух степеней свободы сохраняющиеся при малых $\varepsilon$ двумерные торы перегораживают трехмерный уровень энергии $H=$ const, поэтому имеется нек-рая устойчивость (по переменным действия): стохастич. слои между собой не перекрываются. Однако при $n \geqslant 3$ возникает неустойчивость, к-рая при сколь угодно малом $\varepsilon>0$ позволяет траектории из одного стохастич. слоя переходить в другой и тем самым уходить далеко по I (диффузия Арнольда). Скорость такой диффузии экспоненциально мала (по $\varepsilon$), но все же на больших временах устойчивость она нарушает. Нек-рые численные эксперименты на ЭВМ показывают, что с ростом $\varepsilon$ все большее число торов разрушается, и в конце концов стохастич. движение системы происходит по всему трехмерному уровню энергии $\boldsymbol{H}=$ const. При такой «развитой» стохастичности движение обладает свойством эргодичности, то есть для любой функции $F(p, q)$ среднее по времени равно среднему по пространству (по объему на уровне энергии, к-рый также сохраняется). Обобщения. В общем случае для задания Г. с. на четномерном пространстве размерности $2 n$ нужно определить скобку Пуассона любых двух функций $f, g$, удовлетворяющую обычным свойствам билинейности, антисимметричности и невырожденности, а также тождеству Якоби. В локальных координатах $x_{i}$ эта операция имеет вид \[ \{f, g\}=\sum_{i, k=1}^{2 n} w^{i k}(x)\left(\partial f / \partial x_{i}\right)\left(\partial f / \partial x_{k}\right), \] причем матрица $w^{i k}(x)$ невырождена, $w^{i k}=-w^{k i}$ и выполняется тождество \[ \frac{\partial W_{i k}}{\partial x_{l}}+\frac{\partial W_{l i}}{\partial x_{k}}+\frac{\partial W_{k l}}{\partial x_{i}}=0 \] где $W=w^{-1}$ - обратная матрица. Выбирая теперь произвольную функцию $H(x)$, можно определить для каждой функции $f(x)$ ее траекторию $F(x, t), F(x, 0)=f(x)$, из уравнения $\partial F / \partial t=\{F, H\}$. Это линейное однородное уравнение с частными производными 1-го порядка, характеристиками к-рого являются уравнения Гамильтона \[ d x_{i} / d t=\sum_{k} w^{i k} \partial H / \partial x_{k} \] Около каждой точки можно так ввести координаты, что в них матрица $w^{i k}(x)$ примет стандартный вид $\left\|\begin{array}{cc}0 & -E \\ E & 0\end{array}\right\|$, где $E-n$-мерная единичная матрица. Обозначая $x_{k}=p_{k}$, $x_{n+k}=q_{k}$, получим канонически сопряженные переменные, в к-рых Г. с. запишется в виде (*). Следуя этой схеме, можно перенести понятие Г.с. на распределенные системы, описывающие классич. поля. Примером может служить Кортевега - де Фриса уравнение \[ v_{t}+6 v v_{x}+v_{x x x}=0 \] В качестве фазового пространства выбирают убывающие на бесконечности функции $v(x)$, для к-рых существует функционал \[ H[v]=\int_{-\infty}^{\infty}\left(-v_{x}^{2} / 2+v^{3}\right) d x \] играющий роль функции Гамильтона. Скобку Пуассона функционалов $S[v], R[v]$ определяют равенством \[ \{S, R\}=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\delta S}{\delta v}-\frac{\partial}{\partial x} \frac{\delta R}{\delta v}\right) d x \] где $\delta / \delta v$ означает функциональную производную. Тогда уравнение Кортевега - де Фриса переписывается в виде \[ v_{t}=-(\partial / \partial x) \delta H / \delta v \] то есть представляет собой Г. с., имеющую к тому же бесконечный набор интегралов. Распределенными (и даже интегрируемыми) Г.с. являются также нелинейное уравнение Шредингера, синус-Гордона уравнение и описывающие намагниченность одноосного ферромагнетика Ландау - Лифшица уравнения.

частный случай динамической системы, описывающей физические процессы без диссипации; соответствующие дифференциальные уравнения можно представить в следующей симметричной форме (Гамильтона уравнения): \[ \dot{p}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}, \quad \dot{q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \quad i=1, \ldots, n, \] где $H(p, q, t)$, называемая Гамильтона функцией, имеет обычно смысл энергии системы, а $q_{i}$ и $p_{i}$ - обобщенные координаты и импульсы, $n$ - число степеней свободы системы. Ниже рассматриваются автономные гамильтоновы системы, в к-рых функция $H$ не зависит явно от времени $t$. В каждой точке $(p, q)$ фазового пространства вектор $\left(-\partial H / \partial q_{i}, \partial H / \partial p_{i}\right)$ задает поле фазовой скорости, касательное к фазовым траекториям. Возникает наглядный образ движения Г. с. как фазового потока. Фазовый поток сохраняет элемент объема в фазовом пространстве, то есть при движении по траекториям системы $\left(^{*}\right)$ фазовый объем не меняется (Лиувилля теорема). Отсюда следует, что Г. с. в фазовом пространстве не может иметь множеств, к к-рым все траектории из целой области притягиваются асимптотически. Более того, почти все траектории, совершающие финитное движение, являются неблуждающими, то есть почти всякая движущаяся точка многократно возвращается в окрестность своего исходного положения (Пуанкаре теорема о возвращении). Производная функции $F(p, q)$ по направлению вектора фазовой скорости в данной точке $(p, q)$ определяет изменение $F$ вдоль траектории и равна \[ \dot{F}=-\frac{\partial F}{\partial p} \frac{\partial H}{\partial q}+\frac{\partial F}{\partial q} \frac{\partial H}{\partial p}=\{F, H\} \] где $\{F, H\}$ называется скобкой Пуассона функций $F$ и $H$. Если $\dot{F} \equiv 0$, то есть $\{F, H\} \equiv 0$, то $F$ не меняется вдоль траектории и является первым интегралом (интегралом движения) системы (*). В частности, интегралом системы (*) является функция $H$, поэтому фазовое пространство Г. с. расслаивается на гиперповерхности $H=h=\mathrm{const}$; траектория, начинающаяся на данной гиперповерхности, никогда ее не покидает. Дополнительные интегралы Г.с. часто получаются как следствие инвариантности $H$ относительно нек-рой группы преобразований (см. Нетер теорема). Напр., пусть функция $H$ инвариантна относительно сдвигов $s$ вдоль оси $q_{1}$, то есть \[ H\left(p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}+s, q_{2}, \ldots, q_{n}\right)=H\left(p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}\right) \] для любого $s$. Тогда $H$ не зависит от $q_{1}$, поэтому $\dot{p}_{1}=-\partial H / \partial q_{1} \equiv 0$ и $F(p, q)=p_{1}$ - интеграл движения; координата $q_{1}$ называется в этом случае циклической. Интегрируемые системы являются простейшим типом Г. с. Они имеют кроме функции $H=H_{1}$ еще $n-1$ интегралов $H_{2}, \ldots, H_{n}$, причем попарные скобки Пуассона $\left\{H_{i}, H_{j}\right\} \equiv 0$. Интегрируемость приводит к следующей картине движения Г. с. Пусть градиенты функций $H_{i}$ линейно независимы в изучаемой области фазового пространства, а движение финитно и происходит внутри области. Любая траектория остается в пересечении гиперповерхностей $H_{i}(p, q)=h_{i}$ с фиксированными $h_{i}$. Компонента этого пересечения топологически эквивалентна $n$-мерному тору $T^{n}\left(T^{1}\right.$ - обычная окружность, $T^{2}-$ произведение двух окружностей, поверхность «бублика», стандартный тор $T^{n}$ - это множество в $\mathbb{R}^{2 n}=\mathbb{R}^{2} \times \ldots \times \mathbb{R}^{2}$, к-рое при проекции на каждое $\mathbb{R}^{2}$ дает окружность). Можно так задать циклич. координаты $\left(\varphi_{1}, \ldots\right.$, $\left.\varphi_{n}\right)$ на торе $T^{n}$, что движение по тору определяется уравнениями $\dot{\varphi}_{i}=\omega_{i}, i=1, \ldots, n$, где $\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right)$ - вектор частот, то есть движение условно периодично. Вся область, где градиенты $H_{i}$ линейно независимы, расслоена на такие торы; можно ввести специальные координаты $(I, \varphi)$ (переменные действие - угол), в к-рых $H=H(I)$. Движение на самом торе зависит от частот $\omega$ (к-рые, вообще говоря, меняются от тора к тору). Если между частотами $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ нет линейных зависимостей вида $n_{i} \omega_{i}=0$ с целыми коэффициентами, то траектория подходит сколь угодно близко к любой точке тора. Если же существуют соотношения $\sum_{i} n_{i} \omega_{i}=0$ (так наз. резонанс частот), то $n$-мерный тор $T^{n}$ расслаивается на торы меньшей размерности $T^{k}, n-k$ равно числу независимых линейных соотношений. Строение множества $\left\{H_{i}=h_{i}\right\}, i=1, \ldots, n$, содержащего точки, где градиенты функций $H_{i}$ зависимы, может быть различным. В частности, оно может содержать вырожденные торы (размерности меньшей $n$ ), к к-рым асимптотически приближаются другие траектории, образуя так наз. «усатый», или «седловой», тор. Вырожденным случаем седлового тора является седловое периодич. движение Г, к-рое изображено на рис. 1 пунктирной линией. Рис. 1. Часть трехмерного уровня энергии.  См. также Интегрируемая гамильтонова система. Неинтегрируемые системы. Обычно интегрируемые Г. с. получаются при нек-рых специальных значениях параметров, входящих в $H$. Пусть, для простоты, имеется один малый параметр $\varepsilon$ и при $\varepsilon=0$ система интегрируема. Тогда в области, где введены переменные действие - угол $(I, \varphi)$, ее функцию Гамильтона можно записать в виде \[ H=H_{0}(I)+\varepsilon H_{1}(I, \varphi, \varepsilon) \] А. Пуанкаре (H. Poincaré) считал изучение такой Г.с. «основной задачей динамики». Движение в такой Г. с. для большинства начальных условий описывается КАМ-теорией [А. Н. Колмогоров, В. И. Арнольд, Ю. Мозер (J. Moser)]. При малых $\varepsilon$ основная часть торов интегрируемой Г. с. сохраняется, лишь слегка деформируясь; движение на каждом таком торе остается условно периодическим. Но разрушение структуры интегрируемой Г. с. все же происходит, одной из его причин является расщепление ранее совпадавших устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодич. движений (см. периодич. траекторию Г на рис. 1). В окрестности этого множества образуется так наз. стохастич. слой, движение внутри к-рого крайне нерегулярно и практически неотличимо от случайного. Нек-рое представление о нем дает рис. 2, где представлено поведение следов устойчивого и неустойчивого многообразий седловой траектории $\Gamma$ на секущей площадке П (см. рис. 1). Кроме стохастич. слоев, возникающих в окрестности седловых периодич. движений, образуются также стохастич. слои (гораздо более узкие) из-за разрушения нек-рой малой части торов, в первую очередь тех, движение на к-рых было чисто периодическим $\left(\omega_{i}=n_{i} v, n_{i}\right.$ - целые, $\left.i=1, \ldots, n\right)$. При разрушении такого тора образуется «гирлянда» из седловых и устойчивых периодич. движений (см. рис. 3). Устойчивые многообразия седловых периодич. движений пересекаются, и образуется стохастич.  Рис. 2. Стохастический слой.  Рис. 3. Разрушенный тор. слой. Таким образом, фазовое пространство Г.с., близкой к интегрируемой, характеризуется свойством разделенности: в большей части его движение похоже на поведение интегрируемой Г.с., траектории лежат на торах, заполненных условнопериодич. траекториями. В то же время в нек-рой части движение приобретает свойства случайного процесса (квазислучайно). Следует отметить, что в случае двух степеней свободы сохраняющиеся при малых $\varepsilon$ двумерные торы перегораживают трехмерный уровень энергии $H=$ const, поэтому имеется нек-рая устойчивость (по переменным действия): стохастич. слои между собой не перекрываются. Однако при $n \geqslant 3$ возникает неустойчивость, к-рая при сколь угодно малом $\varepsilon>0$ позволяет траектории из одного стохастич. слоя переходить в другой и тем самым уходить далеко по I (диффузия Арнольда). Скорость такой диффузии экспоненциально мала (по $\varepsilon$), но все же на больших временах устойчивость она нарушает. Нек-рые численные эксперименты на ЭВМ показывают, что с ростом $\varepsilon$ все большее число торов разрушается, и в конце концов стохастич. движение системы происходит по всему трехмерному уровню энергии $\boldsymbol{H}=$ const. При такой «развитой» стохастичности движение обладает свойством эргодичности, то есть для любой функции $F(p, q)$ среднее по времени равно среднему по пространству (по объему на уровне энергии, к-рый также сохраняется). Обобщения. В общем случае для задания Г. с. на четномерном пространстве размерности $2 n$ нужно определить скобку Пуассона любых двух функций $f, g$, удовлетворяющую обычным свойствам билинейности, антисимметричности и невырожденности, а также тождеству Якоби. В локальных координатах $x_{i}$ эта операция имеет вид \[ \{f, g\}=\sum_{i, k=1}^{2 n} w^{i k}(x)\left(\partial f / \partial x_{i}\right)\left(\partial f / \partial x_{k}\right), \] причем матрица $w^{i k}(x)$ невырождена, $w^{i k}=-w^{k i}$ и выполняется тождество \[ \frac{\partial W_{i k}}{\partial x_{l}}+\frac{\partial W_{l i}}{\partial x_{k}}+\frac{\partial W_{k l}}{\partial x_{i}}=0 \] где $W=w^{-1}$ - обратная матрица. Выбирая теперь произвольную функцию $H(x)$, можно определить для каждой функции $f(x)$ ее траекторию $F(x, t), F(x, 0)=f(x)$, из уравнения $\partial F / \partial t=\{F, H\}$. Это линейное однородное уравнение с частными производными 1-го порядка, характеристиками к-рого являются уравнения Гамильтона \[ d x_{i} / d t=\sum_{k} w^{i k} \partial H / \partial x_{k} \] Около каждой точки можно так ввести координаты, что в них матрица $w^{i k}(x)$ примет стандартный вид $\left\|\begin{array}{cc}0 & -E \\ E & 0\end{array}\right\|$, где $E-n$-мерная единичная матрица. Обозначая $x_{k}=p_{k}$, $x_{n+k}=q_{k}$, получим канонически сопряженные переменные, в к-рых Г. с. запишется в виде (*). Следуя этой схеме, можно перенести понятие Г.с. на распределенные системы, описывающие классич. поля. Примером может служить Кортевега - де Фриса уравнение \[ v_{t}+6 v v_{x}+v_{x x x}=0 \] В качестве фазового пространства выбирают убывающие на бесконечности функции $v(x)$, для к-рых существует функционал \[ H[v]=\int_{-\infty}^{\infty}\left(-v_{x}^{2} / 2+v^{3}\right) d x \] играющий роль функции Гамильтона. Скобку Пуассона функционалов $S[v], R[v]$ определяют равенством \[ \{S, R\}=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\delta S}{\delta v}-\frac{\partial}{\partial x} \frac{\delta R}{\delta v}\right) d x \] где $\delta / \delta v$ означает функциональную производную. Тогда уравнение Кортевега - де Фриса переписывается в виде \[ v_{t}=-(\partial / \partial x) \delta H / \delta v \] то есть представляет собой Г. с., имеющую к тому же бесконечный набор интегралов. Распределенными (и даже интегрируемыми) Г.с. являются также нелинейное уравнение Шредингера, синус-Гордона уравнение и описывающие намагниченность одноосного ферромагнетика Ландау - Лифшица уравнения.