АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

Функция \[ y=f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \] от $n$ переменных, удовлетворяющая алгебраическому уравнению \[ P\left(y, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=0, \] где $P$ - неприводимый многочлен от $y, x_{1}, \ldots, x_{n}$, часто записываемый по степеням переменного $y$ в виде \[ \begin{gathered} P_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) y^{k}+P_{k-1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) y^{k-1}+\ldots \\ \ldots+P_{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=0, \end{gathered} \] где $P_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \ldots, P_{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ - многочлены от $x_{1}, \ldots, x_{n}$, причем $P_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \not 0$. Число $k-$ степень многочлена $P$ относительно $y$, называется степенью А. Ф. При $k=1$ А. ф. может быть выражена через переменные с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и представлена в виде отношения многочленов \[ y=-\frac{P_{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}{P_{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)} \] такая А.ф. называется рациональной функцией от $x_{1}, \ldots, x_{n}$. При $k=2,3,4$ А. ф. всегда может быть выражена через переменные с помощью арифметич. действий и извлечения корня (квадратного или кубического); при $k \geqslant 5$ такое представление даже с привлечением корней степени выше трех в общем случае невозможно. Если такое представление оказывается возможным, то получающаяся А. Ф. называется иррациональной. Общая теория А. ф. представляет обширную математич. дисциплину, имеющую важные связи с теорией аналитич. функций (А. ф. составляют специальный класс аналитич. функций), алгеброй и алгебраич. геометрией. В. И. Битюцков.

Функция \[ y=f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \] от $n$ переменных, удовлетворяющая алгебраическому уравнению \[ P\left(y, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=0, \] где $P$ - неприводимый многочлен от $y, x_{1}, \ldots, x_{n}$, часто записываемый по степеням переменного $y$ в виде \[ \begin{gathered} P_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) y^{k}+P_{k-1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) y^{k-1}+\ldots \\ \ldots+P_{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=0, \end{gathered} \] где $P_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \ldots, P_{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ - многочлены от $x_{1}, \ldots, x_{n}$, причем $P_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \not 0$. Число $k-$ степень многочлена $P$ относительно $y$, называется степенью А. Ф. При $k=1$ А. ф. может быть выражена через переменные с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и представлена в виде отношения многочленов \[ y=-\frac{P_{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}{P_{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)} \] такая А.ф. называется рациональной функцией от $x_{1}, \ldots, x_{n}$. При $k=2,3,4$ А. ф. всегда может быть выражена через переменные с помощью арифметич. действий и извлечения корня (квадратного или кубического); при $k \geqslant 5$ такое представление даже с привлечением корней степени выше трех в общем случае невозможно. Если такое представление оказывается возможным, то получающаяся А. Ф. называется иррациональной. Общая теория А. ф. представляет обширную математич. дисциплину, имеющую важные связи с теорией аналитич. функций (А. ф. составляют специальный класс аналитич. функций), алгеброй и алгебраич. геометрией. В. И. Битюцков.