ГАУССОВ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ

Функциональный интеграл вида \[ I=\int \exp \left(S_{2}+S_{1}\right) D \mu, \] где $S_{2}$ - квадратичная, а $S_{1}$ - линейная формы относительно переменных интегрирования. Г. ф. и. представляет собой важный с точки зрения приложений класс функциональных интегралов, значение к-рых находится в замкнутом виде. В квантовой теории поля Г. ф. и. используется для описания невзаимодействующих систем во внешнем поле. Примеры вычисления Г. ф. и.: 1) Пусть \[ \begin{gathered} S_{2}=-\frac{1}{2} \int a(x) K(x, y) a(y) d x d y, \\ S_{1}=\int \eta(x) a(x) d x=\eta a, \\ D_{\mu}=\prod_{x} d a(x) ; \end{gathered} \] тогда \[ I=\operatorname{det}^{-x / 2}(K) \exp \left\{\frac{1}{2} \eta K^{-1} \eta\right\}, \quad, \] где $x=1$ в случае, когда интегрирование ведется по вещественному гильбертову пространству $L, a(x)$ и $\eta(x) \in L$, а $K-$ положительно определенный симметричный обратимый на $L$ интегральный оператор с ядром $K(x, y) ; x=-1$ в случае, когда интегрирование ведется по грассмановой алгебре $\Lambda$, $a(x)$ и $\eta(x) \in \Lambda$, а $K$ - обратимый на $\Lambda$ кососимметрич. интегральный оператор с ядром $K(x, y)$. 2) Пусть \[ \begin{gathered} S_{2}=-\int a^{+}(x) K(x, y) a(x) d x d y=a^{+} K a \\ S_{1}=\int\left[a^{+}(x) \eta(x)+\eta^{+}(x) a(x)\right] d x=\eta^{+} a+a^{+} \eta, \\ D \mu=\prod_{x} d a^{+}(x) d a(x) \end{gathered} \] тогда \[ I=\operatorname{det}^{-x}(K) \exp \left\{\eta^{+} K^{-1} \eta\right\} \] где $x=1$ в случае, когда интегрирование ведется по гильбертову пространству $L$ с инволюцией, $a(x), a^{+}(x), \eta^{+}(x)$, $\eta(x) \in L$, а $K$ обратим на $L$ и $\operatorname{Re} a^{+} K a>0 ; x=-1$ в случае, когда интегрирование ведется по грассмановой алгебре $\Lambda$ с инволюцией, $a(x), a^{+}(a), \eta^{+}(x)$ и $\eta(x) \in \Lambda$, а $K$ обратим на $\Lambda$. Строго говоря, для существования рассмотренных Г. ф. и. необходимо требовать существования входящих в формулы примеров определителей, что выполняется тогда и только тогда, когда оператор $K-E$ является ядерным. Последнее обычно не выполняется для функциональных интегралов, используемых при описании квантовополевых систем. В этом случае необходимо регуляризовать определитель в соответствии с конечномерными аппроксимациями, пределом к-рых является исследуемый функциональный интеграл.

Функциональный интеграл вида \[ I=\int \exp \left(S_{2}+S_{1}\right) D \mu, \] где $S_{2}$ - квадратичная, а $S_{1}$ - линейная формы относительно переменных интегрирования. Г. ф. и. представляет собой важный с точки зрения приложений класс функциональных интегралов, значение к-рых находится в замкнутом виде. В квантовой теории поля Г. ф. и. используется для описания невзаимодействующих систем во внешнем поле. Примеры вычисления Г. ф. и.: 1) Пусть \[ \begin{gathered} S_{2}=-\frac{1}{2} \int a(x) K(x, y) a(y) d x d y, \\ S_{1}=\int \eta(x) a(x) d x=\eta a, \\ D_{\mu}=\prod_{x} d a(x) ; \end{gathered} \] тогда \[ I=\operatorname{det}^{-x / 2}(K) \exp \left\{\frac{1}{2} \eta K^{-1} \eta\right\}, \quad, \] где $x=1$ в случае, когда интегрирование ведется по вещественному гильбертову пространству $L, a(x)$ и $\eta(x) \in L$, а $K-$ положительно определенный симметричный обратимый на $L$ интегральный оператор с ядром $K(x, y) ; x=-1$ в случае, когда интегрирование ведется по грассмановой алгебре $\Lambda$, $a(x)$ и $\eta(x) \in \Lambda$, а $K$ - обратимый на $\Lambda$ кососимметрич. интегральный оператор с ядром $K(x, y)$. 2) Пусть \[ \begin{gathered} S_{2}=-\int a^{+}(x) K(x, y) a(x) d x d y=a^{+} K a \\ S_{1}=\int\left[a^{+}(x) \eta(x)+\eta^{+}(x) a(x)\right] d x=\eta^{+} a+a^{+} \eta, \\ D \mu=\prod_{x} d a^{+}(x) d a(x) \end{gathered} \] тогда \[ I=\operatorname{det}^{-x}(K) \exp \left\{\eta^{+} K^{-1} \eta\right\} \] где $x=1$ в случае, когда интегрирование ведется по гильбертову пространству $L$ с инволюцией, $a(x), a^{+}(x), \eta^{+}(x)$, $\eta(x) \in L$, а $K$ обратим на $L$ и $\operatorname{Re} a^{+} K a>0 ; x=-1$ в случае, когда интегрирование ведется по грассмановой алгебре $\Lambda$ с инволюцией, $a(x), a^{+}(a), \eta^{+}(x)$ и $\eta(x) \in \Lambda$, а $K$ обратим на $\Lambda$. Строго говоря, для существования рассмотренных Г. ф. и. необходимо требовать существования входящих в формулы примеров определителей, что выполняется тогда и только тогда, когда оператор $K-E$ является ядерным. Последнее обычно не выполняется для функциональных интегралов, используемых при описании квантовополевых систем. В этом случае необходимо регуляризовать определитель в соответствии с конечномерными аппроксимациями, пределом к-рых является исследуемый функциональный интеграл.