ГАУССОВСКИЙ ПРОЦЕСС

действительный случайный процесс $\xi=\xi(t), t \in T$, любые конечномерные распределения которого являются гауссовскими, то есть характеристические функции совместных распределений вероятностей случайных величин $\xi\left(t_{1}\right), \ldots, \xi\left(t_{n}\right)$ при любых $t_{1}, \ldots, t_{n} \in T$ имеют вид: \[ \begin{gathered} \varphi_{t_{1}, \ldots, t_{n}}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)= \\ =\exp \left\{i \sum_{k=1}^{n} A\left(t_{k}\right) u_{k}-\frac{1}{2} \sum_{k, j=1}^{n} B\left(t_{k}, t_{j}\right) u_{k} u_{j}\right\}, \end{gathered} \] где $A(t)=\mathrm{E} \xi(t)-$ математическое ожидание и \[ B(t, s)=\mathrm{E}[\xi(t)-A(t)][\xi(s)-A(\mathrm{~s})] \] - корреляционная функция. Распределение вероятностей Г. п. $\xi=\xi(t)$ полностью задается его математич. ожиданием $A(t)$ и корреляционной функцией $B(t, s), s, t \in T$. Для любой функции $A(t)$ и любой положительно определенной функции $B(t, s)$ существует Г. п. $\xi(t)$, у к-рого среднее значение и корреляционная функция суть именно $A(t)$ и $B(t, s)$. Многомерный случайный процесс с векторными значениями \[ \xi(t)=\left\{\xi_{1}(t), \ldots, \xi_{m}(t)\right\} \] называется гауссовским, если гауссовскими являются совместные распределения вероятностей любых величин \[ \xi_{i_{1}}\left(t_{1}\right), \ldots, \xi_{i_{n}}\left(t_{n}\right) \] Комплексным Г. п. $\xi=\xi(t), t \in T$, называется случайный процесс вида \[ \xi(t)=\xi_{1}(t)+i \xi_{2}(t), \] где действительные $\xi_{1}(t), \xi_{2}(t)$ в совокупности образуют двумерный Г. п. Иногда, говоря о комплексном Г. п. $\xi(t)=\xi_{1}(t)+i \xi_{2}(t)$, считают, что выполняется одно дополнительное условие: \[ \mathrm{E} \xi(s) \xi(t)=A(s) A(t), \] где \[ A(t)=\mathrm{E} \xi(t) . \] Это условие вводится для того, чтобы сохранить то свойство обычных гауссовских случайных величин, согласно к-рому некоррелированность равносильна независимости; его можно переписать следующим образом: \[ \begin{gathered} \mathrm{E}\left[\xi_{1}(t)-A_{1}(t)\right]\left[\xi_{1}(s)-A_{1}(s)\right]= \\ =\mathrm{E}\left[\xi_{2}(t)-A_{2}(t)\right]\left[\xi_{2}(s)-A_{2}(s)\right]=\frac{1}{2} \operatorname{Re} B(t, s), \\ \mathrm{E}\left[\xi_{1}(t)-A_{1}(t)\right]\left[\xi_{2}(s)-A_{2}(s)\right]=-\frac{1}{2} \operatorname{Im} B(t, s), \end{gathered} \] где \[ B(t, s)=\mathrm{E}[\xi(t)-A(t)] \overline{[\xi(s)-A(s)}] \] - корреляционная функция процесса $\xi(t)$ и \[ A_{1}(t)=\mathrm{E} \xi_{1}(t), A_{2}(t)=\mathrm{E} \xi_{2}(t) . \quad \text { Ю. А. Розанов. } \]

действительный случайный процесс $\xi=\xi(t), t \in T$, любые конечномерные распределения которого являются гауссовскими, то есть характеристические функции совместных распределений вероятностей случайных величин $\xi\left(t_{1}\right), \ldots, \xi\left(t_{n}\right)$ при любых $t_{1}, \ldots, t_{n} \in T$ имеют вид: \[ \begin{gathered} \varphi_{t_{1}, \ldots, t_{n}}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)= \\ =\exp \left\{i \sum_{k=1}^{n} A\left(t_{k}\right) u_{k}-\frac{1}{2} \sum_{k, j=1}^{n} B\left(t_{k}, t_{j}\right) u_{k} u_{j}\right\}, \end{gathered} \] где $A(t)=\mathrm{E} \xi(t)-$ математическое ожидание и \[ B(t, s)=\mathrm{E}[\xi(t)-A(t)][\xi(s)-A(\mathrm{~s})] \] - корреляционная функция. Распределение вероятностей Г. п. $\xi=\xi(t)$ полностью задается его математич. ожиданием $A(t)$ и корреляционной функцией $B(t, s), s, t \in T$. Для любой функции $A(t)$ и любой положительно определенной функции $B(t, s)$ существует Г. п. $\xi(t)$, у к-рого среднее значение и корреляционная функция суть именно $A(t)$ и $B(t, s)$. Многомерный случайный процесс с векторными значениями \[ \xi(t)=\left\{\xi_{1}(t), \ldots, \xi_{m}(t)\right\} \] называется гауссовским, если гауссовскими являются совместные распределения вероятностей любых величин \[ \xi_{i_{1}}\left(t_{1}\right), \ldots, \xi_{i_{n}}\left(t_{n}\right) \] Комплексным Г. п. $\xi=\xi(t), t \in T$, называется случайный процесс вида \[ \xi(t)=\xi_{1}(t)+i \xi_{2}(t), \] где действительные $\xi_{1}(t), \xi_{2}(t)$ в совокупности образуют двумерный Г. п. Иногда, говоря о комплексном Г. п. $\xi(t)=\xi_{1}(t)+i \xi_{2}(t)$, считают, что выполняется одно дополнительное условие: \[ \mathrm{E} \xi(s) \xi(t)=A(s) A(t), \] где \[ A(t)=\mathrm{E} \xi(t) . \] Это условие вводится для того, чтобы сохранить то свойство обычных гауссовских случайных величин, согласно к-рому некоррелированность равносильна независимости; его можно переписать следующим образом: \[ \begin{gathered} \mathrm{E}\left[\xi_{1}(t)-A_{1}(t)\right]\left[\xi_{1}(s)-A_{1}(s)\right]= \\ =\mathrm{E}\left[\xi_{2}(t)-A_{2}(t)\right]\left[\xi_{2}(s)-A_{2}(s)\right]=\frac{1}{2} \operatorname{Re} B(t, s), \\ \mathrm{E}\left[\xi_{1}(t)-A_{1}(t)\right]\left[\xi_{2}(s)-A_{2}(s)\right]=-\frac{1}{2} \operatorname{Im} B(t, s), \end{gathered} \] где \[ B(t, s)=\mathrm{E}[\xi(t)-A(t)] \overline{[\xi(s)-A(s)}] \] - корреляционная функция процесса $\xi(t)$ и \[ A_{1}(t)=\mathrm{E} \xi_{1}(t), A_{2}(t)=\mathrm{E} \xi_{2}(t) . \quad \text { Ю. А. Розанов. } \]