ГЕЙЗЕНБЕРГА ГРУППА

$(2 n+1)$-мерное действительное векторное пространство с координатами $a_{1}, \ldots, a_{n}$, $b_{1}, \ldots, b_{n}, c$ и с операцией умножения: \[ \begin{gathered} \left(a_{1}, \ldots, a_{n}, b_{1}, \ldots, b_{n}, c\right)\left(a_{1}^{\prime}, \ldots, a_{n}^{\prime}, b_{1}^{\prime}, \ldots, b_{n}^{\prime}, c^{\prime}\right)= \\ =\left(a_{1}+a_{1}^{\prime}, \ldots, a_{n}+a_{n}^{\prime}, b_{1}+b_{1}^{\prime}, \ldots, b_{n}+b_{n}^{\prime}, c+c^{\prime}+\sum a_{i} b_{i}^{\prime}\right) . \end{gathered} \] Точные унитарные представления Г. г. нумеруются одним действительным параметром $\lambda$ и реализуются в пространстве $L^{2}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ измеримых функций на $\mathbb{R}^{n}$ с интегрируемым квадратом по формуле \[ f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \rightarrow f\left(x_{1}+a_{1}, \ldots, x_{n}+a_{n}\right) e^{i \lambda\left(\sum b_{i} x_{i}+c\right)} . \] Алгебра Ли Г. г. - это алгебра с базисом $p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}, z$ и соотношениями коммутации \[ \begin{gathered} {\left[p_{i}, p_{j}\right]=\left[q_{i}, q_{j}\right]=\left[p_{i}, z\right]=0,} \\ {\left[p_{i}, q_{j}\right]=\delta_{i j} z .} \end{gathered} \] Ю. А. Неретин.

$(2 n+1)$-мерное действительное векторное пространство с координатами $a_{1}, \ldots, a_{n}$, $b_{1}, \ldots, b_{n}, c$ и с операцией умножения: \[ \begin{gathered} \left(a_{1}, \ldots, a_{n}, b_{1}, \ldots, b_{n}, c\right)\left(a_{1}^{\prime}, \ldots, a_{n}^{\prime}, b_{1}^{\prime}, \ldots, b_{n}^{\prime}, c^{\prime}\right)= \\ =\left(a_{1}+a_{1}^{\prime}, \ldots, a_{n}+a_{n}^{\prime}, b_{1}+b_{1}^{\prime}, \ldots, b_{n}+b_{n}^{\prime}, c+c^{\prime}+\sum a_{i} b_{i}^{\prime}\right) . \end{gathered} \] Точные унитарные представления Г. г. нумеруются одним действительным параметром $\lambda$ и реализуются в пространстве $L^{2}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ измеримых функций на $\mathbb{R}^{n}$ с интегрируемым квадратом по формуле \[ f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \rightarrow f\left(x_{1}+a_{1}, \ldots, x_{n}+a_{n}\right) e^{i \lambda\left(\sum b_{i} x_{i}+c\right)} . \] Алгебра Ли Г. г. - это алгебра с базисом $p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}, z$ и соотношениями коммутации \[ \begin{gathered} {\left[p_{i}, p_{j}\right]=\left[q_{i}, q_{j}\right]=\left[p_{i}, z\right]=0,} \\ {\left[p_{i}, q_{j}\right]=\delta_{i j} z .} \end{gathered} \] Ю. А. Неретин.