АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

направление, использующее аппарат теории алгебр для исследования квантовополевых систем, описываемых в естественных для квантовой механики терминах наблюдаемых и состояний. Эти два понятия возникли при выяснении алгебраич. структуры нерелятивистской квантовой механики в конце 20-х гг. в работах Дж. Неймана (J. Neumann), П. Дирака (P. Dirac), П. Йордана (P. Jordan). А. п., возникший на рубеже 50-х и 60-х гг., явился нетривиальным обобщением идей и построений этих работ на релятивистскую квантовую теорию. В первоначальный период своего развития он выступал в качестве одного из направлений аксиоматической квантовой теории поля и, подобно другим направлениям, строился в виде аксиоматич. формализма, в к-ром принимают лишь минимальное число фундаментальных физич. положений (аксиом) и стремятся вывести наиболее полную систему строгих следствий из этих аксиом. В этот период были сформулированы два варианта аксиоматич. А. п.: конкретный, или подход Хаага - Араки [Р. Хааг (R. Haag), Х. Араки (H. Araki), 1957-62], и абстрактный, или подход Хаага - Кастлера [Р. Хааг, Д. Кастлер (D. Kastler), 1964]. Прямым обобщением квантовомеханич. соответствия наблюдаемая $\leftrightarrow$ эрмитов оператор является центральное понятие обоих подходов - так наз. алгебра локальных наблюдаемых, ее самосопряженные элементы представляют собой физич. наблюдаемые, измеримые в заданной ограниченной области пространства Минковского $\boldsymbol{M}$ (обычная локальная квантовая теория поля оперирует не только с наблюдаемыми величинами и относит их не к конечной области, а к точке). Физич. теория определяется заданием фундаментального соответствия $O \rightarrow \mathscr{\mathscr { N }}(O)$, где $O$ - любая открытая ограниченная область из $M, \mathfrak{A}(O)$ - алгебра локальных наблюдаемых данной области. В подходе Хаага - Араки $\mathscr{H}(O)$ выбирается из класса алгебр Неймана, а в подходе Хаага - Кастлера - из класса абстрактных $C^{*}$-алгебр. На фундаментальное соответствие $O \rightarrow \mathscr{\vartheta}(O)$ и налагается система аксиом, включающая физич. требования причинности, релятивистской ковариантности и спектральности. Набор алгебр $\mathscr{\Re}(O)$, удовлетворяющих системе аксиом, называется сетью локальных алгебр. Изучение таких сетей ставит двоякую задачу: выяснение свойств отдельной алгебры $\mathscr{I}(O)$ и связей между алгебрами различных областей. Результаты первого рода включали в себя анализ свойств центра $\mathscr{\mathcal { H }}(O) \cap \mathfrak{\mathscr { A }}(O)^{\prime}$ алгебры $\mathfrak{\mathscr { A }}(O)$, выяснение ее типа (по классификации алгебр Неймана). Важным результатом явилась здесь, в частности, теорема Рее-Шлидера [Х. Рее (H. Reeh), З. Шлидер (S. Schlieder), 1962], утверждающая, что, совершая операции, локализованные в произвольной, сколь угодно малой области, можно получить состояние, сколь угодно близкое к любому заданному состоянию. Среди разнообразных связей между алгебрами $\mathfrak{H}(O)$ физич. интерес представляют, в первую очередь, так наз. причинные соотношения, связывающие между собой алгебры взаимно пространственноподобных областей и выражающие взаимную независимость процессов, протекающих в таких областях, а также «соотношения зависимости», утверждающие, что все физич. наблюдаемые нек-рой области $O$ в действительности исчерпываются наблюдаемыми определенной подобласти $O_{1} \subset O$, то есть $\mathfrak{A}(O)=\mathfrak{A}\left(O_{1}\right)$. Обширный набор таких соотношений, полученных в рамках А. п., позволил дать подробное описание причинной структуры квантовополевой теории и обнаружить ряд закономерностей релятивистских квантовых процессов. При большой общности и строгости результатов аксиоматич. А. п. не передавал, однако, многих важных особенностей структуры и поведения квантовополевых систем. Главным пробелом в его схеме было отсутствие представлений о квантованном поле: последнее не входило в аксиоматику наблюдаемых ни в качестве первичного, независимого объекта, ни в качестве вторичного, как-то определяемого через наблюдаемые. Преодоление этого пробела стало центральной задачей А. п. на следующем этапе его развития, связанном, в первую очередь, с циклом работ Р. Хаага, С. Доплихера (S. Dopplicher) и Дж. Робертса (J. Roberts) 1969-74. Было выяснено, что наблюдаемые и квантованные поля связаны между собой прежде всего посредством правил суперотбора. Явление правил суперотбора (открытое в 1952, но в то время не причислявшееся к ключевым свойствам квантовополевых систем) заключается в существовании особого класса наблюдаемых, измерения к-рых совместимы с измерениями любых других наблюдаемых; «суперотборные операторы», отвечающие таким наблюдаемым, должны коммутировать с операторами всех наблюдаемых. Подобными наблюдаемыми являются, напр., полный электрич. заряд квантовой системы, ее тип статистики. При наличии в системе правил суперотбора ее пространство состояний разбивается на так наз. когерентные суперотборные секторы, так что состояния, лежащие в каждом секторе, представляются собственными векторами всех суперотборных операторов; при этом состояния из разных секторов различаются между собой собственными значениями суперотборных операторов - так наз. суперотборными квантовыми числами. Именно здесь и возникает понятие поля: в полном согласии с интуитивным представлением о квантованном поле как переносчике заряда и других квантовых чисел поле оказывается оператором переплетения когерентных суперотборных секторов - оператором, к-рый переводит векторы состояния из одного сектора в другой и, кроме того, удовлетворяет определенным перестановочным соотношениям с другими подобными операторами (что связано с требованиями определенного спина и статистики полей). В упомянутом цикле работ были развиты методы, дающие принципиальную возможность строить такие поля, исходя из заданной совокупности суперотборных квантовых чисел (затем, что ее задание выводит теорию за рамки чисто аксиоматич. А. п.) и сети алгебр локальных наблюдаемых. Для возникающей алгебраич. схемы оказывается возможным установить все важнейшие «специфически полевые» свойства релятивистских квантовых систем: ввести операцию зарядового сопряжения, доказать наличие античастицы для каждой из присутствующих в теории частиц, определить тип статистики физич. системы и доказать обобщенную теорему о связи спина и статистики (см. Паули теорема) и др. В итоге формализм А. п. получает нетривиальное углубление и развитие, превращаясь из чистой аксиоматики локальных наблюдаемых в реалистич. теорию квантовых полей. Перечисленные результаты были первоначально получены только для квантовополевых систем с короткодействующими взаимодействиями и глобальными калибровочными симметриями. Дальнейшая работа ставит задачи распространить развитые методы в первую очередь на системы, представляющие наибольший интерес с точки зрения современной теории элементарных частиц: модели с локальными калибровочными симметриями, с топологич. зарядами и фазовыми переходами. Как удалось выяснить, А. п., дополненный теорией правил суперотбора, не только допускает обобщение на такие модели, но и позволяет рассматривать весьма широкий их спектр с единой физич. и математич. точки зрения. (Здесь, напр., была строго доказана Голдстоуна теорема о спонтанном нарушении симметрии.) Оказывается возможным (и плодотворным) дать общую классификацию квантовополевых систем по типам присущих им правил суперотбора и для каждого из таких типов сформулировать методику построения строгой теории, опирающуюся на алгебраич. аппарат, а также на методы евклидовой квантовой теории поля и конструктивной квантовой теории поля. Таким образом, на современном этапе А. п. более не является обособленным научным направлением. В тесном сочетании с евклидовой и конструктивной квантовой теорией поля он входит в единую основу современной техники строгого исследования квантовополевых систем. Лит.: [1] Боголюбов Н.Н., Логунов А.А., Тодоров И.Т., Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля, М., 1969; [2] Эмч Дж., Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля, пер. с англ., М., 1976; [3] Хоружий С. С., Введение в алгебраическую квантовую теорию поля, М., $1986 . \quad$ С. С. Хоружий.

направление, использующее аппарат теории алгебр для исследования квантовополевых систем, описываемых в естественных для квантовой механики терминах наблюдаемых и состояний. Эти два понятия возникли при выяснении алгебраич. структуры нерелятивистской квантовой механики в конце 20-х гг. в работах Дж. Неймана (J. Neumann), П. Дирака (P. Dirac), П. Йордана (P. Jordan). А. п., возникший на рубеже 50-х и 60-х гг., явился нетривиальным обобщением идей и построений этих работ на релятивистскую квантовую теорию. В первоначальный период своего развития он выступал в качестве одного из направлений аксиоматической квантовой теории поля и, подобно другим направлениям, строился в виде аксиоматич. формализма, в к-ром принимают лишь минимальное число фундаментальных физич. положений (аксиом) и стремятся вывести наиболее полную систему строгих следствий из этих аксиом. В этот период были сформулированы два варианта аксиоматич. А. п.: конкретный, или подход Хаага - Араки [Р. Хааг (R. Haag), Х. Араки (H. Araki), 1957-62], и абстрактный, или подход Хаага - Кастлера [Р. Хааг, Д. Кастлер (D. Kastler), 1964]. Прямым обобщением квантовомеханич. соответствия наблюдаемая $\leftrightarrow$ эрмитов оператор является центральное понятие обоих подходов - так наз. алгебра локальных наблюдаемых, ее самосопряженные элементы представляют собой физич. наблюдаемые, измеримые в заданной ограниченной области пространства Минковского $\boldsymbol{M}$ (обычная локальная квантовая теория поля оперирует не только с наблюдаемыми величинами и относит их не к конечной области, а к точке). Физич. теория определяется заданием фундаментального соответствия $O \rightarrow \mathscr{\mathscr { N }}(O)$, где $O$ - любая открытая ограниченная область из $M, \mathfrak{A}(O)$ - алгебра локальных наблюдаемых данной области. В подходе Хаага - Араки $\mathscr{H}(O)$ выбирается из класса алгебр Неймана, а в подходе Хаага - Кастлера - из класса абстрактных $C^{*}$-алгебр. На фундаментальное соответствие $O \rightarrow \mathscr{\vartheta}(O)$ и налагается система аксиом, включающая физич. требования причинности, релятивистской ковариантности и спектральности. Набор алгебр $\mathscr{\Re}(O)$, удовлетворяющих системе аксиом, называется сетью локальных алгебр. Изучение таких сетей ставит двоякую задачу: выяснение свойств отдельной алгебры $\mathscr{I}(O)$ и связей между алгебрами различных областей. Результаты первого рода включали в себя анализ свойств центра $\mathscr{\mathcal { H }}(O) \cap \mathfrak{\mathscr { A }}(O)^{\prime}$ алгебры $\mathfrak{\mathscr { A }}(O)$, выяснение ее типа (по классификации алгебр Неймана). Важным результатом явилась здесь, в частности, теорема Рее-Шлидера [Х. Рее (H. Reeh), З. Шлидер (S. Schlieder), 1962], утверждающая, что, совершая операции, локализованные в произвольной, сколь угодно малой области, можно получить состояние, сколь угодно близкое к любому заданному состоянию. Среди разнообразных связей между алгебрами $\mathfrak{H}(O)$ физич. интерес представляют, в первую очередь, так наз. причинные соотношения, связывающие между собой алгебры взаимно пространственноподобных областей и выражающие взаимную независимость процессов, протекающих в таких областях, а также «соотношения зависимости», утверждающие, что все физич. наблюдаемые нек-рой области $O$ в действительности исчерпываются наблюдаемыми определенной подобласти $O_{1} \subset O$, то есть $\mathfrak{A}(O)=\mathfrak{A}\left(O_{1}\right)$. Обширный набор таких соотношений, полученных в рамках А. п., позволил дать подробное описание причинной структуры квантовополевой теории и обнаружить ряд закономерностей релятивистских квантовых процессов. При большой общности и строгости результатов аксиоматич. А. п. не передавал, однако, многих важных особенностей структуры и поведения квантовополевых систем. Главным пробелом в его схеме было отсутствие представлений о квантованном поле: последнее не входило в аксиоматику наблюдаемых ни в качестве первичного, независимого объекта, ни в качестве вторичного, как-то определяемого через наблюдаемые. Преодоление этого пробела стало центральной задачей А. п. на следующем этапе его развития, связанном, в первую очередь, с циклом работ Р. Хаага, С. Доплихера (S. Dopplicher) и Дж. Робертса (J. Roberts) 1969-74. Было выяснено, что наблюдаемые и квантованные поля связаны между собой прежде всего посредством правил суперотбора. Явление правил суперотбора (открытое в 1952, но в то время не причислявшееся к ключевым свойствам квантовополевых систем) заключается в существовании особого класса наблюдаемых, измерения к-рых совместимы с измерениями любых других наблюдаемых; «суперотборные операторы», отвечающие таким наблюдаемым, должны коммутировать с операторами всех наблюдаемых. Подобными наблюдаемыми являются, напр., полный электрич. заряд квантовой системы, ее тип статистики. При наличии в системе правил суперотбора ее пространство состояний разбивается на так наз. когерентные суперотборные секторы, так что состояния, лежащие в каждом секторе, представляются собственными векторами всех суперотборных операторов; при этом состояния из разных секторов различаются между собой собственными значениями суперотборных операторов - так наз. суперотборными квантовыми числами. Именно здесь и возникает понятие поля: в полном согласии с интуитивным представлением о квантованном поле как переносчике заряда и других квантовых чисел поле оказывается оператором переплетения когерентных суперотборных секторов - оператором, к-рый переводит векторы состояния из одного сектора в другой и, кроме того, удовлетворяет определенным перестановочным соотношениям с другими подобными операторами (что связано с требованиями определенного спина и статистики полей). В упомянутом цикле работ были развиты методы, дающие принципиальную возможность строить такие поля, исходя из заданной совокупности суперотборных квантовых чисел (затем, что ее задание выводит теорию за рамки чисто аксиоматич. А. п.) и сети алгебр локальных наблюдаемых. Для возникающей алгебраич. схемы оказывается возможным установить все важнейшие «специфически полевые» свойства релятивистских квантовых систем: ввести операцию зарядового сопряжения, доказать наличие античастицы для каждой из присутствующих в теории частиц, определить тип статистики физич. системы и доказать обобщенную теорему о связи спина и статистики (см. Паули теорема) и др. В итоге формализм А. п. получает нетривиальное углубление и развитие, превращаясь из чистой аксиоматики локальных наблюдаемых в реалистич. теорию квантовых полей. Перечисленные результаты были первоначально получены только для квантовополевых систем с короткодействующими взаимодействиями и глобальными калибровочными симметриями. Дальнейшая работа ставит задачи распространить развитые методы в первую очередь на системы, представляющие наибольший интерес с точки зрения современной теории элементарных частиц: модели с локальными калибровочными симметриями, с топологич. зарядами и фазовыми переходами. Как удалось выяснить, А. п., дополненный теорией правил суперотбора, не только допускает обобщение на такие модели, но и позволяет рассматривать весьма широкий их спектр с единой физич. и математич. точки зрения. (Здесь, напр., была строго доказана Голдстоуна теорема о спонтанном нарушении симметрии.) Оказывается возможным (и плодотворным) дать общую классификацию квантовополевых систем по типам присущих им правил суперотбора и для каждого из таких типов сформулировать методику построения строгой теории, опирающуюся на алгебраич. аппарат, а также на методы евклидовой квантовой теории поля и конструктивной квантовой теории поля. Таким образом, на современном этапе А. п. более не является обособленным научным направлением. В тесном сочетании с евклидовой и конструктивной квантовой теорией поля он входит в единую основу современной техники строгого исследования квантовополевых систем. Лит.: [1] Боголюбов Н.Н., Логунов А.А., Тодоров И.Т., Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля, М., 1969; [2] Эмч Дж., Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля, пер. с англ., М., 1976; [3] Хоружий С. С., Введение в алгебраическую квантовую теорию поля, М., $1986 . \quad$ С. С. Хоружий.