ГЕЛЬМГОЛЬЦА УРАВНЕНИЕ

дифференциальное уравнение \[ \Delta u+\lambda u=0, \] где $\Delta$ - Лапласа оператор, $\lambda$ - постоянная; при $\lambda=0$ Г.у. переходит в Лапласа уравнение. Г.у. можно получить из волнового уравнения, если зависимость от времени описывается функцией $\exp (i \omega t)$, в этом случае $\lambda=\omega^{2} c^{-2}(c-$ скорость распространения волн). Названо по имени Г. Гельмгольца (H. Helmholtz), изучавшего это уравнение в 1860. Для Г.у. в ограниченной области рассматривают обычные краевые задачи (Дирихле, Неймана и др.). Значения $\lambda$, для к-рых существует отличное от нуля решение однородного Г. у., называются собственными значениями оператора Лапласа. Для таких значений $\lambda$ решение краевой задачи не единственно. При помощи функции Грина краевую задачу можно свести к интегральному уравнению. В случае неограниченной области убывающее на бесконечности решение $\Gamma$.у. не является единственным при $\lambda>0$. В этом случае для выделения единственного решения ставят дополнительные условия.

дифференциальное уравнение \[ \Delta u+\lambda u=0, \] где $\Delta$ - Лапласа оператор, $\lambda$ - постоянная; при $\lambda=0$ Г.у. переходит в Лапласа уравнение. Г.у. можно получить из волнового уравнения, если зависимость от времени описывается функцией $\exp (i \omega t)$, в этом случае $\lambda=\omega^{2} c^{-2}(c-$ скорость распространения волн). Названо по имени Г. Гельмгольца (H. Helmholtz), изучавшего это уравнение в 1860. Для Г.у. в ограниченной области рассматривают обычные краевые задачи (Дирихле, Неймана и др.). Значения $\lambda$, для к-рых существует отличное от нуля решение однородного Г. у., называются собственными значениями оператора Лапласа. Для таких значений $\lambda$ решение краевой задачи не единственно. При помощи функции Грина краевую задачу можно свести к интегральному уравнению. В случае неограниченной области убывающее на бесконечности решение $\Gamma$.у. не является единственным при $\lambda>0$. В этом случае для выделения единственного решения ставят дополнительные условия.