ГЕЛЬФАНДА-ЦЕТЛИНА БАЗИС

базис в пространстве неприводимого представления $T$ группы $U(n)$ всех унитарных матриц порядка $n$. Такие представления нумеруются старшими весами, то есть наборами $m_{1}, \ldots, m_{n}$ целых чисел. А именно, пусть $T-$ представление $U(n)$. Обозначим через $\operatorname{diag}\left(d_{1}, \ldots, d_{n}\right)$ унитарную матрицу, у к-рой по главной диагонали стоят числа $d_{1}, \ldots, d_{n}$, а остальные матричные элементы - нули. Рассмотрим в пространстве представления $T$ весовой вектор $v$, то есть вектор, собственный относительно всех операторов вида \[ T_{\text {diag }\left(d_{1}, \ldots, d_{n}\right)} \text {. } \] Тогда \[ T_{\operatorname{diag}\left(d_{1}, \ldots, d_{n}\right)} v=d_{1}^{l 1} \ldots d_{n}^{l n} v, \] где $l_{1}, \ldots, l_{n}$ - набор целых чисел; такие наборы называются весами представления. Введем на множестве всех весов представления $T$ лексикографич. (=алфавитный) порядок, а именно мы скажем, что вес $l_{1}, \ldots, l_{n}$ старше веса $l_{1}^{\prime}, \ldots, l_{n}^{\prime}$, если выполнена хотя бы одна из следующих систем неравенств: 1) $l_{1}>l_{1}^{\prime}$ 2) $l_{1}=l_{1}^{\prime}, l_{2}>l_{2}^{\prime}$ 3) $l_{1}=l_{1}^{\prime}, l_{2}=l_{2}^{\prime}, l_{3}>l_{3}^{\prime}$ и т. д. Тогда старший вес $m_{1}, \ldots, m_{n}$ представления $T$ - это старший из весов представления в описанном выше смысле. Итак, пусть $T-$ представление $U(n)$ со старшим весом $m_{1}^{(n)}, \ldots, m_{n}^{(n)}$. Рассмотрим в $U(n)$ подгруппу $U(n-1)$, состоящую из всех матриц, оставляющих на месте последний базисный вектор. Оказывается, что ограничение представления $T$ на подгруппу $U(n-1)$ раскладывается в однократную прямую сумму представлений группы $U(n-1)$ со старшими весами $m_{1}^{(n-1)}, \ldots, m_{n-1}^{(n-1)}$, удовлетворяющими условию \[ m_{1}^{(n)} \geqslant m_{1}^{(n-1)} \geqslant m_{2}^{(n)} \geqslant m_{2}^{(n-1)} \geqslant m_{3}^{(n)} \geqslant \ldots \geqslant m_{n}^{(n)} . \] Ограничим каждое из полученных представлений $U(n-1)$ на $U(n-2)$, потом каждое из полученных представлений $U(n-2)$ ограничим на $U(n-3)$ и т. д. Продолжая этот процесс вплоть до группы $U(1)$, мы разложим пространство представления $T$ в прямую сумму одномерных подпространств, выбирая в каждом из этих подпространств по вектору, мы получаем базис в пространстве представления $T$, он и называется базисом Гельфанда-Цетлина (предложен в 1950). В этом базисе удается записать явные формулы (формулы Гельфанда-Цетлина) для нек-рых генераторов алгебры Ли (а именно, для матриц $E_{i j}$, где $i-j=0, \pm 1$, а через $E_{i j}$ обозначена матрица, у к-рой на месте $i j$ стоит единица, а остальные элементы - нули), а также для нек-рых элементов группы. Существуют также явные формулы для операторов, переводящих вектор старшего веса для $U(n)$ в векторы старшего веса для $U(n-1)$, $U(n-2), \ldots$ Аналогичный метод применим для построения базисов в конечномерных представлениях групп $O(n, \mathbb{C})$ в нек-рых бесконечномерных представлениях. Для серии групп $S p(2 n, \mathbb{C})$ изложенная схема непригодна, однако аналог Г.-Ц. б. существует.

базис в пространстве неприводимого представления $T$ группы $U(n)$ всех унитарных матриц порядка $n$. Такие представления нумеруются старшими весами, то есть наборами $m_{1}, \ldots, m_{n}$ целых чисел. А именно, пусть $T-$ представление $U(n)$. Обозначим через $\operatorname{diag}\left(d_{1}, \ldots, d_{n}\right)$ унитарную матрицу, у к-рой по главной диагонали стоят числа $d_{1}, \ldots, d_{n}$, а остальные матричные элементы - нули. Рассмотрим в пространстве представления $T$ весовой вектор $v$, то есть вектор, собственный относительно всех операторов вида \[ T_{\text {diag }\left(d_{1}, \ldots, d_{n}\right)} \text {. } \] Тогда \[ T_{\operatorname{diag}\left(d_{1}, \ldots, d_{n}\right)} v=d_{1}^{l 1} \ldots d_{n}^{l n} v, \] где $l_{1}, \ldots, l_{n}$ - набор целых чисел; такие наборы называются весами представления. Введем на множестве всех весов представления $T$ лексикографич. (=алфавитный) порядок, а именно мы скажем, что вес $l_{1}, \ldots, l_{n}$ старше веса $l_{1}^{\prime}, \ldots, l_{n}^{\prime}$, если выполнена хотя бы одна из следующих систем неравенств: 1) $l_{1}>l_{1}^{\prime}$ 2) $l_{1}=l_{1}^{\prime}, l_{2}>l_{2}^{\prime}$ 3) $l_{1}=l_{1}^{\prime}, l_{2}=l_{2}^{\prime}, l_{3}>l_{3}^{\prime}$ и т. д. Тогда старший вес $m_{1}, \ldots, m_{n}$ представления $T$ - это старший из весов представления в описанном выше смысле. Итак, пусть $T-$ представление $U(n)$ со старшим весом $m_{1}^{(n)}, \ldots, m_{n}^{(n)}$. Рассмотрим в $U(n)$ подгруппу $U(n-1)$, состоящую из всех матриц, оставляющих на месте последний базисный вектор. Оказывается, что ограничение представления $T$ на подгруппу $U(n-1)$ раскладывается в однократную прямую сумму представлений группы $U(n-1)$ со старшими весами $m_{1}^{(n-1)}, \ldots, m_{n-1}^{(n-1)}$, удовлетворяющими условию \[ m_{1}^{(n)} \geqslant m_{1}^{(n-1)} \geqslant m_{2}^{(n)} \geqslant m_{2}^{(n-1)} \geqslant m_{3}^{(n)} \geqslant \ldots \geqslant m_{n}^{(n)} . \] Ограничим каждое из полученных представлений $U(n-1)$ на $U(n-2)$, потом каждое из полученных представлений $U(n-2)$ ограничим на $U(n-3)$ и т. д. Продолжая этот процесс вплоть до группы $U(1)$, мы разложим пространство представления $T$ в прямую сумму одномерных подпространств, выбирая в каждом из этих подпространств по вектору, мы получаем базис в пространстве представления $T$, он и называется базисом Гельфанда-Цетлина (предложен в 1950). В этом базисе удается записать явные формулы (формулы Гельфанда-Цетлина) для нек-рых генераторов алгебры Ли (а именно, для матриц $E_{i j}$, где $i-j=0, \pm 1$, а через $E_{i j}$ обозначена матрица, у к-рой на месте $i j$ стоит единица, а остальные элементы - нули), а также для нек-рых элементов группы. Существуют также явные формулы для операторов, переводящих вектор старшего веса для $U(n)$ в векторы старшего веса для $U(n-1)$, $U(n-2), \ldots$ Аналогичный метод применим для построения базисов в конечномерных представлениях групп $O(n, \mathbb{C})$ в нек-рых бесконечномерных представлениях. Для серии групп $S p(2 n, \mathbb{C})$ изложенная схема непригодна, однако аналог Г.-Ц. б. существует.