ГЕНЕРАТОР ГРУППЫ, ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР

точнее, генератор представления $T_{g}=T\left(\varphi^{1}, \ldots, \varphi^{n}\right)$ группы Ли $G$, параметризованной в окрестности ее единичного элемента $e$ каноническими параметрами $\varphi^{\alpha},-$ оператор \[ I_{\alpha}=\partial T /\left.\partial \varphi\right|_{\varphi^{\alpha}=0} \] Канонич. параметризация всегда существует и означает, что $g(0, \ldots, 0)=e$, а элементы $G$ вида $g\left(0, \ldots, \varphi^{\alpha}, \ldots 0\right)$ образуют окрестность однопараметрич. подгруппы группы $G$. Г. группы $I_{\alpha}$ порождают Ли алгебру представления $T_{g}$ и удовлетворяют соотношениям \[ \left[I_{\alpha}, I_{\beta}\right]=C_{\alpha \beta}^{\gamma} I_{\gamma} \] где $C_{\alpha \beta}^{\gamma}$ - структурные константы алгебры. Если представление $T_{g}$ унитарно, Г. группы $I_{\alpha}$ антиэрмитовы; в физике принято вводить эрмитов базис в алгебре Ли: \[ L_{\alpha}=i I_{\alpha} \] В квантовой теории физич. величинам соответствуют эрмитовы операторы $L_{\alpha}$. Напр., для группы вращений $O(3)$ параметры $\varphi^{\alpha}$ соответствуют углам поворотов вокруг осей $x, y, z, \Gamma$. группы - компонентам углового момента $M_{\alpha}$, а соотношения алгебры Ли - перестановочным соотношениям для $M_{\alpha}$ : \[ \left[M_{\alpha}, M_{\beta}\right]=i \varepsilon_{\alpha \beta \gamma} M_{\gamma} \] В классич. механике, где алгебру Ли порождают Пуассона скобки, Г. группы реализуются как функции канонич. переменных. Важным примером является группа калибровочных преобразований, для к-рой Г. группы - связи первого рода (см. Гамильтонов формализм). См. также Вращений группа. Лит.: [1] Боголюбов Н.Н., Логунов А. А., Тодоров И.Т., Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля, М., 1969, гл. 2, доп. А; [2] Румер Ю. Б., Фет А. И., Теория унитарной симметрии, М., 1970; [3] Эллиот Дж., Добер П., Симметрия в физике, пер. с англ., т. 1-2, М., 1983. В.П. Павлов.

точнее, генератор представления $T_{g}=T\left(\varphi^{1}, \ldots, \varphi^{n}\right)$ группы Ли $G$, параметризованной в окрестности ее единичного элемента $e$ каноническими параметрами $\varphi^{\alpha},-$ оператор \[ I_{\alpha}=\partial T /\left.\partial \varphi\right|_{\varphi^{\alpha}=0} \] Канонич. параметризация всегда существует и означает, что $g(0, \ldots, 0)=e$, а элементы $G$ вида $g\left(0, \ldots, \varphi^{\alpha}, \ldots 0\right)$ образуют окрестность однопараметрич. подгруппы группы $G$. Г. группы $I_{\alpha}$ порождают Ли алгебру представления $T_{g}$ и удовлетворяют соотношениям \[ \left[I_{\alpha}, I_{\beta}\right]=C_{\alpha \beta}^{\gamma} I_{\gamma} \] где $C_{\alpha \beta}^{\gamma}$ - структурные константы алгебры. Если представление $T_{g}$ унитарно, Г. группы $I_{\alpha}$ антиэрмитовы; в физике принято вводить эрмитов базис в алгебре Ли: \[ L_{\alpha}=i I_{\alpha} \] В квантовой теории физич. величинам соответствуют эрмитовы операторы $L_{\alpha}$. Напр., для группы вращений $O(3)$ параметры $\varphi^{\alpha}$ соответствуют углам поворотов вокруг осей $x, y, z, \Gamma$. группы - компонентам углового момента $M_{\alpha}$, а соотношения алгебры Ли - перестановочным соотношениям для $M_{\alpha}$ : \[ \left[M_{\alpha}, M_{\beta}\right]=i \varepsilon_{\alpha \beta \gamma} M_{\gamma} \] В классич. механике, где алгебру Ли порождают Пуассона скобки, Г. группы реализуются как функции канонич. переменных. Важным примером является группа калибровочных преобразований, для к-рой Г. группы - связи первого рода (см. Гамильтонов формализм). См. также Вращений группа. Лит.: [1] Боголюбов Н.Н., Логунов А. А., Тодоров И.Т., Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля, М., 1969, гл. 2, доп. А; [2] Румер Ю. Б., Фет А. И., Теория унитарной симметрии, М., 1970; [3] Эллиот Дж., Добер П., Симметрия в физике, пер. с англ., т. 1-2, М., 1983. В.П. Павлов.