ГОДОГРАФА МЕТОД, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГОДОГРАФА

метод, позволяющий свести однородную систему двух квазилинейных уравнений \[ \left.\begin{array}{l} u_{t}=a(u, v) u_{x}+b(u, v) v_{x} \\ v_{t}=c(u, v) u_{x}+d(u, v) v_{x} \end{array}\right\} \] относительно двух функций $u(x, t)$ и $v(x, t)$ к линейной системе \[ \left.\begin{array}{rl} -x_{u} & =a(u, v) t_{v}-b(u, v) t_{u} \\ x_{v} & =c(u, v) t_{v}-d(u, v) t_{u} \end{array}\right\} \] от соответствующих обратных функций $t(u, v)$ и $x(u, v)$. Впервые Г.м. был применен к интегрированию уравнений движения идеального газа (см. [1]). Г. М. позволяет линеаризовать дифференциальные уравнения с частными производными 2-го порядка, сводимые к системе (1), и совпадает в этом случае с линеаризацией уравнений Лежандра преобразованием (см. [2]). Обобщенный метод годографа - метод, применимый к системам гидродинамич. типа с диагональной матрицей \[ u_{t}^{i}=v_{i}\left(u^{1}, \ldots, u^{n}\right) u_{x}^{i}, u^{i}=u^{i}(x, t), i=1, \ldots, n, \] и позволяющий свести систему (2) к линейной системе уравнений \[ \partial_{i} w_{k}=\frac{\partial_{i} v_{k}}{\left(v_{i}-v_{k}\right)}\left(w_{i}-w_{k}\right), \quad \partial_{i}=\frac{\partial}{\partial u^{i}}, \quad i \neq k, \] относительно коэффициентов $w_{i}\left(u^{1}, \ldots, u^{n}\right)$ коммутирующих с (2) потоков (то есть симметрий (2)) того же вида при выполнении условий «полугамильтоновости» (см. [1]): \[ \partial_{i}=\left(\frac{\partial_{j} v_{k}}{v_{j}-v_{k}}\right)=\partial_{j}\left(\frac{\partial_{i} v_{k}}{v_{i}-v_{k}}\right), \quad i \neq j \neq k . \] Связь решений (2) и (3) дает формула обобщенного преобразования годографа \[ w_{i}(u)=v_{i}(u) t+x \] Лит.: [1] Мизес Р., Математическая теория течений сжимаемой жидкости, пер. с англ., М., 1961; [2] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [3] Дубровин Б. А., Новиков С. П., «Успехи математич. наук», 1989, т. 44, $\begin{array}{ll}\text { в. 6, с. 29-98. } & \text { С. П. Царев. }\end{array}$

метод, позволяющий свести однородную систему двух квазилинейных уравнений \[ \left.\begin{array}{l} u_{t}=a(u, v) u_{x}+b(u, v) v_{x} \\ v_{t}=c(u, v) u_{x}+d(u, v) v_{x} \end{array}\right\} \] относительно двух функций $u(x, t)$ и $v(x, t)$ к линейной системе \[ \left.\begin{array}{rl} -x_{u} & =a(u, v) t_{v}-b(u, v) t_{u} \\ x_{v} & =c(u, v) t_{v}-d(u, v) t_{u} \end{array}\right\} \] от соответствующих обратных функций $t(u, v)$ и $x(u, v)$. Впервые Г.м. был применен к интегрированию уравнений движения идеального газа (см. [1]). Г. М. позволяет линеаризовать дифференциальные уравнения с частными производными 2-го порядка, сводимые к системе (1), и совпадает в этом случае с линеаризацией уравнений Лежандра преобразованием (см. [2]). Обобщенный метод годографа - метод, применимый к системам гидродинамич. типа с диагональной матрицей \[ u_{t}^{i}=v_{i}\left(u^{1}, \ldots, u^{n}\right) u_{x}^{i}, u^{i}=u^{i}(x, t), i=1, \ldots, n, \] и позволяющий свести систему (2) к линейной системе уравнений \[ \partial_{i} w_{k}=\frac{\partial_{i} v_{k}}{\left(v_{i}-v_{k}\right)}\left(w_{i}-w_{k}\right), \quad \partial_{i}=\frac{\partial}{\partial u^{i}}, \quad i \neq k, \] относительно коэффициентов $w_{i}\left(u^{1}, \ldots, u^{n}\right)$ коммутирующих с (2) потоков (то есть симметрий (2)) того же вида при выполнении условий «полугамильтоновости» (см. [1]): \[ \partial_{i}=\left(\frac{\partial_{j} v_{k}}{v_{j}-v_{k}}\right)=\partial_{j}\left(\frac{\partial_{i} v_{k}}{v_{i}-v_{k}}\right), \quad i \neq j \neq k . \] Связь решений (2) и (3) дает формула обобщенного преобразования годографа \[ w_{i}(u)=v_{i}(u) t+x \] Лит.: [1] Мизес Р., Математическая теория течений сжимаемой жидкости, пер. с англ., М., 1961; [2] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [3] Дубровин Б. А., Новиков С. П., «Успехи математич. наук», 1989, т. 44, $\begin{array}{ll}\text { в. 6, с. 29-98. } & \text { С. П. Царев. }\end{array}$