ГРАДИЕНТНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

Поток, задаваемый градиентом гладкой функции $f$ на гладком многообразии. При дифференцировании $f$ непосредственно получается ковариантный вектор (напр., в конечномерном случае в координатной окрестности $U$ с локальными координатами $x^{1}, \ldots, x^{n}$ это будет вектор с компонентами $\left.\partial f / \partial x^{1}, \ldots, \partial f / \partial x^{n}\right)$, тогда как вектор фазовой скорости является контравариантным. Переход от одного к другому осуществляется с помощью какой-либо римановой метрики, от выбора к-рой (наряду с $f$ ) зависит, таким образом, определение Г. д. с.; часто у вектора фазовой скорости ещё меняют знак. В приведенном примере Г. д. с. в области $U$ описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений \[ d x^{i} / d t= \pm \sum_{j} g^{i j} \partial f / \partial x^{j}, \quad j=1, \ldots, n, \] где коэффициенты $g^{i j}$ образуют матрицу, обратную по отношению к матрице коэффициентов $\left\|g_{i j}\right\|$ метрич. тензора; подразумевается, что во всех $n$ уравнениях правая часть берется с одним и тем же знаком «Плюс» или «минус». Часто под Г. д. с. понимают системы несколько более общего типа. Д. В. Аносов.

Поток, задаваемый градиентом гладкой функции $f$ на гладком многообразии. При дифференцировании $f$ непосредственно получается ковариантный вектор (напр., в конечномерном случае в координатной окрестности $U$ с локальными координатами $x^{1}, \ldots, x^{n}$ это будет вектор с компонентами $\left.\partial f / \partial x^{1}, \ldots, \partial f / \partial x^{n}\right)$, тогда как вектор фазовой скорости является контравариантным. Переход от одного к другому осуществляется с помощью какой-либо римановой метрики, от выбора к-рой (наряду с $f$ ) зависит, таким образом, определение Г. д. с.; часто у вектора фазовой скорости ещё меняют знак. В приведенном примере Г. д. с. в области $U$ описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений \[ d x^{i} / d t= \pm \sum_{j} g^{i j} \partial f / \partial x^{j}, \quad j=1, \ldots, n, \] где коэффициенты $g^{i j}$ образуют матрицу, обратную по отношению к матрице коэффициентов $\left\|g_{i j}\right\|$ метрич. тензора; подразумевается, что во всех $n$ уравнениях правая часть берется с одним и тем же знаком «Плюс» или «минус». Часто под Г. д. с. понимают системы несколько более общего типа. Д. В. Аносов.