ГРУППА

множество $G$, на котором определено умножение, то есть для любых двух элементов $g_{1}, g_{2} \in G$ определено их произведение $g_{1} g_{2} \in G$, обладающее свойствами: 1) $\left(g_{1} g_{2}\right) g_{3}=g_{1}\left(g_{2} g_{3}\right)$ (ассоциативность); 2) существует элемент $e \in G$, называемый единицей, такой, что $e g=g e=g$ для любого $g \in G$; 3) для любого $g \in G$ существует элемент $g^{-1} \in G$, называемый обратным, такой, что $g^{-1} g=g g^{-1}=e$. Свойство коммутативности (то есть $g_{1} g_{2}=g_{2} g_{1}$) в общем случае не требуется, если же это соотношение выполняется для любых элементов $\Gamma$. $G$, то $G$ называется абелевой, или коммутативной, Г. Как в физике, так и в математике, Г. чаще всего выступают как Г. преобразований. Набор $G$ преобразований (то есть взаимно однозначных отображений) множества $X$ в себя является Г., если: он содержит тождественное преобразование множества $X$, вместе с каждым $g \in G$ в $G$ входит обратное к $g$ преобразование $g^{-1}$, композиция (произведение) любых двух элементов из $G$ входит в $G$. Примерами Г. преобразований служат Г. всех параллельных переносов трехмерного пространства, Г. всех отображений конечного множества в себя (называемая также симметрической группой, или группой подстановок). Обычно Г. преобразований определяется как Г. всех преобразований, сохраняющих нек-рое свойство (тогда условия, определяющие Г., выполняются сами собой). В этом случае говорят, что $G-$ группа симметрий. Примеры: Г. всех движений плоскости (то есть всех преобразований, сохраняющих расстояние), Г. движений квадрата (то есть Г. всех преобразований плоскости, переводящих квадрат в себя), кристаллографич. Г. (то есть Г. симметрии кристалла), Г. симметрии молекул, Г. симметрий физич. законов (Пуанкаре группа, Лоренца группа, Галилея группа, Вращений группа). Наличие у какого-либо дифференциального уравнения достаточно большой группы симметрий часто позволяет явно его решить (в сущности на этом основан метод разделения переменных). Понятие Г. появилось впервые в работах Э. Галуа (E. Galois, 1832), посвященных решениям алгебраич. уравнений в радикалах.

множество $G$, на котором определено умножение, то есть для любых двух элементов $g_{1}, g_{2} \in G$ определено их произведение $g_{1} g_{2} \in G$, обладающее свойствами: 1) $\left(g_{1} g_{2}\right) g_{3}=g_{1}\left(g_{2} g_{3}\right)$ (ассоциативность); 2) существует элемент $e \in G$, называемый единицей, такой, что $e g=g e=g$ для любого $g \in G$; 3) для любого $g \in G$ существует элемент $g^{-1} \in G$, называемый обратным, такой, что $g^{-1} g=g g^{-1}=e$. Свойство коммутативности (то есть $g_{1} g_{2}=g_{2} g_{1}$) в общем случае не требуется, если же это соотношение выполняется для любых элементов $\Gamma$. $G$, то $G$ называется абелевой, или коммутативной, Г. Как в физике, так и в математике, Г. чаще всего выступают как Г. преобразований. Набор $G$ преобразований (то есть взаимно однозначных отображений) множества $X$ в себя является Г., если: он содержит тождественное преобразование множества $X$, вместе с каждым $g \in G$ в $G$ входит обратное к $g$ преобразование $g^{-1}$, композиция (произведение) любых двух элементов из $G$ входит в $G$. Примерами Г. преобразований служат Г. всех параллельных переносов трехмерного пространства, Г. всех отображений конечного множества в себя (называемая также симметрической группой, или группой подстановок). Обычно Г. преобразований определяется как Г. всех преобразований, сохраняющих нек-рое свойство (тогда условия, определяющие Г., выполняются сами собой). В этом случае говорят, что $G-$ группа симметрий. Примеры: Г. всех движений плоскости (то есть всех преобразований, сохраняющих расстояние), Г. движений квадрата (то есть Г. всех преобразований плоскости, переводящих квадрат в себя), кристаллографич. Г. (то есть Г. симметрии кристалла), Г. симметрии молекул, Г. симметрий физич. законов (Пуанкаре группа, Лоренца группа, Галилея группа, Вращений группа). Наличие у какого-либо дифференциального уравнения достаточно большой группы симметрий часто позволяет явно его решить (в сущности на этом основан метод разделения переменных). Понятие Г. появилось впервые в работах Э. Галуа (E. Galois, 1832), посвященных решениям алгебраич. уравнений в радикалах.