ГРУППОВАЯ АЛГЕБРА КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ

ассоциативная алгебра $C(G)$ с базисом \[ e_{g_{1}}, \ldots, e_{g_{n}} \] где $g_{i}$ - элементы группы $G$, умножение в которой определяется соотношениями \[ e_{g_{i}} e_{g_{j}}=e_{g_{i} g_{j}} \] Если $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{s}-$ размерности всех неприводимых представлений группы $G$, то \[ C(G)=\bigoplus_{j=1}^{s} \operatorname{Mat}\left(\lambda_{j}\right), \] где Mat $(n)$ - алгебра всех матриц порядка $n \times n$. Если $T-$ представление группы $G$, то формула \[ \tau\left(\sum \alpha_{i} e_{g_{i}}\right)=\sum \alpha_{i} T g_{i} \] задает представление Г. а. $C(G)$, иными словами \[ \tau(x y)=\tau(x) \tau(y) \] Групповая алгебра группы Ли $G-$ алгебра функций на $G$ с операцией свертки. Здесь не уточняется, какие именно функции рассматриваются: рассматривая различные классы функций на $G$, можно получить различные Г. а. Простейший вариант - алгебра всех интегрируемых по левой мере Хаара функций. Лит.: [1] Кириллов А. А., Элементы теории представлений, М., 1978. Ю. А. Неретин.

ассоциативная алгебра $C(G)$ с базисом \[ e_{g_{1}}, \ldots, e_{g_{n}} \] где $g_{i}$ - элементы группы $G$, умножение в которой определяется соотношениями \[ e_{g_{i}} e_{g_{j}}=e_{g_{i} g_{j}} \] Если $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{s}-$ размерности всех неприводимых представлений группы $G$, то \[ C(G)=\bigoplus_{j=1}^{s} \operatorname{Mat}\left(\lambda_{j}\right), \] где Mat $(n)$ - алгебра всех матриц порядка $n \times n$. Если $T-$ представление группы $G$, то формула \[ \tau\left(\sum \alpha_{i} e_{g_{i}}\right)=\sum \alpha_{i} T g_{i} \] задает представление Г. а. $C(G)$, иными словами \[ \tau(x y)=\tau(x) \tau(y) \] Групповая алгебра группы Ли $G-$ алгебра функций на $G$ с операцией свертки. Здесь не уточняется, какие именно функции рассматриваются: рассматривая различные классы функций на $G$, можно получить различные Г. а. Простейший вариант - алгебра всех интегрируемых по левой мере Хаара функций. Лит.: [1] Кириллов А. А., Элементы теории представлений, М., 1978. Ю. А. Неретин.