АНАЛИТИЧЕСКИЙ ФУНКЦИОНАЛ (В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ)

линейный непрерывный функционал на основном пространстве (см. Обобщенная функция), состоящем из аналитических функций. А. ф. различных классов используются в нелокальной аксиоматич. квантовой теории поля, в теории псевдодифференциальных операторов (диф- ференциальных операторов бесконечного порядка), в теории гиперфункций, Фурье гиперфункций, Фурье ультрагиперфункций и т. Д. Аналитический функционал в узком смысле - элемент из $\mathscr{H}^{\prime}(O)$, то есть линейный непрерывный функционал на пространстве $\mathscr{H}(O)$ всех аналитич. функций в области $O \subset \mathbb{C}^{n}$ с топологией равномерной сходимости на компактах в $O$, задаваемой полунормами \[ |\Phi|_{K}=\sup \{|\Phi(\zeta)| ; \zeta \in K\}, \Phi \in \mathscr{H}(O), \] где $K$ пробегает семейство всех компактов в $O$, так что $\mathscr{H}(O)$ - пространство Фреше - Шварца. Говорят, что А. ф. $g \in \mathscr{H}^{\prime}(O)$ сосредоточен на компакте $K \subset O$, если для любой ограниченной области $\Omega(K \subset \Omega$, замыкание $\bar{\Omega} \subset O)$ существует постоянная $C$ такая, что \[ |(g, \Phi)| \leqslant C|\Phi|_{\bar{\Omega}}, \Phi \in \mathscr{H}(O) . \] Каждый А. ф. $g \in \mathscr{P}^{\prime}(O)$ сосредоточен на нек-ром компакте, лежащем в $O$, однако нельзя определить носитель $g$, поскольку не существует наименьшего компакта, на котором $g$ сосредоточен. Для всякого А. ф. $g \in \mathscr{H}^{\prime}(O)$ существует мера $\mu$ с компактным носителем supp $\mu \subset O$ такая, что \[ (g, \Phi)=\int \Phi(z) d \mu(z), \Phi \in \mathscr{H}(O) . \] На $\mathscr{f}^{\prime}(O)$ определены Лапласа преобразование и свертка. Вещественный аналитический функционал в области $\omega \subset \mathbb{R}^{n}$ есть, по определению, элемент из $\mathcal{A}^{\prime}(\omega)$, то есть линейный непрерывный функционал на основном пространстве \[ \mathscr{A}(\omega)=\operatorname{limind}_{\Omega \supset \omega} \mathscr{H}(\Omega), \quad, \] где индуктивный предел определенных выше пространств $\mathscr{H}(\Omega)$ берется по всем областям $\Omega \subset \mathbb{C}^{n}$, содержащим $\omega$. Для всякой области $\omega \subset \mathbb{R}^{n}$ имеется плотное непрерывное вложение $\mathscr{d}\left(\mathbb{R}^{n}\right) \subset \mathscr{d}(\omega)$, так что $\mathscr{d}^{\prime}\left(\mathbb{R}^{n}\right)-$ естественное объемлющее пространство всех вещественных А. Ф. Говорят, что вещественный А. $\phi . g \in d^{\prime}(\omega)$ сосредоточен на вещественном компакте $K \subset \omega$, если для всякой ограниченной области $(\Omega) \subset \mathbb{C}^{n}$, содержащей $K$, существует постоянная $C$ такая, что \[ |(g, \Phi)| \leqslant C|\Phi|_{\bar{\Omega}}, \Phi \in \mathscr{H}\left(\mathbb{C}^{n}\right) . \] Каждый вещественный А. Ф. сосредоточен на нек-ром вещественном компакте, определен носитель supp $g$ всякого вещественного А. Ф. $g$ как наименьший вещественный компакт, на к-ром он сосредоточен. Множество вещественных А. ф., носители к-рых лежат в компакте $K \subset \mathbb{R}^{n}$, отождествляется с сопряженным пространством $\mathscr{d}^{\prime}[K]$, где \[ \mathscr{A}[K]=\underset{\Omega \supset K}{\operatorname{limind}} \mathscr{H}(\Omega), \] индуктивный предел берется по всем комплексным открытым множествам $\Omega$, содержащим $K$. Для вещественных А. ф. определены преобразование Лапласа и свертка.

линейный непрерывный функционал на основном пространстве (см. Обобщенная функция), состоящем из аналитических функций. А. ф. различных классов используются в нелокальной аксиоматич. квантовой теории поля, в теории псевдодифференциальных операторов (диф- ференциальных операторов бесконечного порядка), в теории гиперфункций, Фурье гиперфункций, Фурье ультрагиперфункций и т. Д. Аналитический функционал в узком смысле - элемент из $\mathscr{H}^{\prime}(O)$, то есть линейный непрерывный функционал на пространстве $\mathscr{H}(O)$ всех аналитич. функций в области $O \subset \mathbb{C}^{n}$ с топологией равномерной сходимости на компактах в $O$, задаваемой полунормами \[ |\Phi|_{K}=\sup \{|\Phi(\zeta)| ; \zeta \in K\}, \Phi \in \mathscr{H}(O), \] где $K$ пробегает семейство всех компактов в $O$, так что $\mathscr{H}(O)$ - пространство Фреше - Шварца. Говорят, что А. ф. $g \in \mathscr{H}^{\prime}(O)$ сосредоточен на компакте $K \subset O$, если для любой ограниченной области $\Omega(K \subset \Omega$, замыкание $\bar{\Omega} \subset O)$ существует постоянная $C$ такая, что \[ |(g, \Phi)| \leqslant C|\Phi|_{\bar{\Omega}}, \Phi \in \mathscr{H}(O) . \] Каждый А. ф. $g \in \mathscr{P}^{\prime}(O)$ сосредоточен на нек-ром компакте, лежащем в $O$, однако нельзя определить носитель $g$, поскольку не существует наименьшего компакта, на котором $g$ сосредоточен. Для всякого А. ф. $g \in \mathscr{H}^{\prime}(O)$ существует мера $\mu$ с компактным носителем supp $\mu \subset O$ такая, что \[ (g, \Phi)=\int \Phi(z) d \mu(z), \Phi \in \mathscr{H}(O) . \] На $\mathscr{f}^{\prime}(O)$ определены Лапласа преобразование и свертка. Вещественный аналитический функционал в области $\omega \subset \mathbb{R}^{n}$ есть, по определению, элемент из $\mathcal{A}^{\prime}(\omega)$, то есть линейный непрерывный функционал на основном пространстве \[ \mathscr{A}(\omega)=\operatorname{limind}_{\Omega \supset \omega} \mathscr{H}(\Omega), \quad, \] где индуктивный предел определенных выше пространств $\mathscr{H}(\Omega)$ берется по всем областям $\Omega \subset \mathbb{C}^{n}$, содержащим $\omega$. Для всякой области $\omega \subset \mathbb{R}^{n}$ имеется плотное непрерывное вложение $\mathscr{d}\left(\mathbb{R}^{n}\right) \subset \mathscr{d}(\omega)$, так что $\mathscr{d}^{\prime}\left(\mathbb{R}^{n}\right)-$ естественное объемлющее пространство всех вещественных А. Ф. Говорят, что вещественный А. $\phi . g \in d^{\prime}(\omega)$ сосредоточен на вещественном компакте $K \subset \omega$, если для всякой ограниченной области $(\Omega) \subset \mathbb{C}^{n}$, содержащей $K$, существует постоянная $C$ такая, что \[ |(g, \Phi)| \leqslant C|\Phi|_{\bar{\Omega}}, \Phi \in \mathscr{H}\left(\mathbb{C}^{n}\right) . \] Каждый вещественный А. Ф. сосредоточен на нек-ром вещественном компакте, определен носитель supp $g$ всякого вещественного А. Ф. $g$ как наименьший вещественный компакт, на к-ром он сосредоточен. Множество вещественных А. ф., носители к-рых лежат в компакте $K \subset \mathbb{R}^{n}$, отождествляется с сопряженным пространством $\mathscr{d}^{\prime}[K]$, где \[ \mathscr{A}[K]=\underset{\Omega \supset K}{\operatorname{limind}} \mathscr{H}(\Omega), \] индуктивный предел берется по всем комплексным открытым множествам $\Omega$, содержащим $K$. Для вещественных А. ф. определены преобразование Лапласа и свертка.