АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБОБЩЕННОЙ ФУНКЦИИ

представление обобщенной функции в виде суммы обобщенных граничных значений аналитических функций. Широко применяется в теории обобщенных функций, в теории линейных уравнений с частными производными, в аксиоматич. квантовой теории поля, явилось мотивировкой введения понятия гиперфункции как дальнейшего расширения классич. понятия функции. Пусть $O$ - область в $\mathbb{R}^{n}$ и $\mathscr{\mathscr { F }}(O)$ - основное пространство, состоящее из функций, определенных в области $O$. Аналитическим представлением обобщенной функции $f \in \mathscr{F}^{\prime}(O)$ называется всякое равенство вида \[ f=\sum_{j=1}^{N} \mathrm{bv} f_{j} \] где справа стоят обобщенные граничные значения bv $f_{j}$ в $\mathscr{F}^{\prime}(O)$ функций $f_{j}(z)$, аналитических в тубоидах $D_{j}(O)$. Во всех разумных пространствах всякая обобщенная функция обладает А. П. Неоднозначность А. П. обобщенной функции описывается Боголюбова теоремой «острие клина», точнее, ее вариантом: \[ \sum_{j=1}^{N} \mathrm{bv} f_{j}=0 \] тогда и только тогда, когда существуют функции $f_{j k}(z)=$ $=-f_{k j}(z)$, аналитические в тубоидах $D_{j k}(O)=D_{k j}(O) \supset$ $\supset D_{j}(O) \cup D_{k}(O), j, k=1, \ldots, N$, имеющие обобщенные граничные значения в $\widetilde{\mathscr{T}}^{\prime}(O)$, и такие, что \[ f_{j}(z)=\sum_{k=1}^{N} f_{j k}(z), \quad z \in D_{j}(O), \quad j=1, \ldots, N . \] Приведенные результаты справедливы, напр., в классах Шварца распределений, ультрараспределений, Фурье гипер$\begin{array}{ll}\text { функций и Фурье ультрагиперфункций. } & \text { В. В. Жаринов. }\end{array}$

представление обобщенной функции в виде суммы обобщенных граничных значений аналитических функций. Широко применяется в теории обобщенных функций, в теории линейных уравнений с частными производными, в аксиоматич. квантовой теории поля, явилось мотивировкой введения понятия гиперфункции как дальнейшего расширения классич. понятия функции. Пусть $O$ - область в $\mathbb{R}^{n}$ и $\mathscr{\mathscr { F }}(O)$ - основное пространство, состоящее из функций, определенных в области $O$. Аналитическим представлением обобщенной функции $f \in \mathscr{F}^{\prime}(O)$ называется всякое равенство вида \[ f=\sum_{j=1}^{N} \mathrm{bv} f_{j} \] где справа стоят обобщенные граничные значения bv $f_{j}$ в $\mathscr{F}^{\prime}(O)$ функций $f_{j}(z)$, аналитических в тубоидах $D_{j}(O)$. Во всех разумных пространствах всякая обобщенная функция обладает А. П. Неоднозначность А. П. обобщенной функции описывается Боголюбова теоремой «острие клина», точнее, ее вариантом: \[ \sum_{j=1}^{N} \mathrm{bv} f_{j}=0 \] тогда и только тогда, когда существуют функции $f_{j k}(z)=$ $=-f_{k j}(z)$, аналитические в тубоидах $D_{j k}(O)=D_{k j}(O) \supset$ $\supset D_{j}(O) \cup D_{k}(O), j, k=1, \ldots, N$, имеющие обобщенные граничные значения в $\widetilde{\mathscr{T}}^{\prime}(O)$, и такие, что \[ f_{j}(z)=\sum_{k=1}^{N} f_{j k}(z), \quad z \in D_{j}(O), \quad j=1, \ldots, N . \] Приведенные результаты справедливы, напр., в классах Шварца распределений, ультрараспределений, Фурье гипер$\begin{array}{ll}\text { функций и Фурье ультрагиперфункций. } & \text { В. В. Жаринов. }\end{array}$