ДИНАМИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ КВАНТОВОЙ СИСТЕМЫ, АЛГЕБРА, ГЕНЕРИРУЮЩАЯ СПЕКТР, ГРУППА НЕИНВАРИАНТНОСТИ

симметрия полного пространства векторов состояния системы, образующих одно неприводимое представление некоторой группы или алгебры Ли, операторы которой объединяют в одно семейство все состояния системы и включают в себя операторы переходов между различными состояниями. Вырождение уровней энергии квантовой системы, находящейся в стационарном состоянии, связано с наличием у нее нек-рой симметрии (группы инвариантности), то есть с наличием набора операторов, коммутирующих с гамильтонианом системы, к-рые обычно образуют конечномерную алгебру Ли. Помимо вырождений, связанных с явной симметрией гамильтониана (напр., относительно вращений в трехмерном пространстве), существует скрытая симметрия, объясняющая так наз. случайное вырождение уровней энергии системы. Примером такой симметрии, объясняющей вырождение уровней с одинаковым главным квантовым числом и различными орбитальными моментами в атоме водорода, является симметрия $O(4)$ в импульсном пространстве (фоковская симметрия; предложена В. А. Фоком в 1935). Аналогично «случайное» вырождение уровней трехмерного изотропного гармонич. осциллятора связано с наличием у него симметрии относительно унитарной группы $U(3)$. Операторы алгебры соответствующих групп переводят одно выбранное состояние, принадлежащее заданному уровню энергии, во все остальные состояния, принадлежащие тому же уровню энергии; при этом ортогональные состояния, принадлежащие данному уровню, образуют базис неприводимого представления группы симметрии (группы инвариантности). В отличие от группы инвариантности, действие операторов динамич. группы (группы неинвариантности, или динамич. алгебры Ли) на одно выбранное стационарное состояние квантовой системы порождает все остальные стационарные состояния системы, связывая таким образом все стационарные состояния системы, в том числе принадлежащие различным уровням, в одно семейство - мультиплет. При этом группа симметрии (группа инвариантности) системы является подгруппой группы Д.с. Так, для атомов водорода группой Д. с. является конформная $O(4,2)$ динамич. группа, одно неприводимое вырожденное представление к-рой содержит все его связанные состояния, а для трехмерного квантового гармонич. осциллятора - группа $U(3,1)$. Среди генераторов группы Д. с. обязательно есть не коммутирующие с гамильтонианом, действие к-рых переводит волновые функции состояний с одним уровнем энергии квантовой системы в волновые функции состояний с другими энергиями (то есть соответствует квантовым переходам между уровнями системы). Нахождение динамич. группы симметрии физич. задачи, с одной стороны, эквивалентно решению Шредингера уравнения (или Дирака уравнения, Клейна - Гордона уравнения) для данной системы, с другой стороны - позволяет использовать хорошо развитый математич. аппарат теории представлений групп Ли и получать соотношения типа рекуррентных соотношений для матричных элементов операторов физич. величин, что важно при расчетах физич. эффектов по теории возмущений (напр., при расчете эффекта Штарка для атома водорода). Группа Д. с. квантовой системы определяется неоднозначно. Так, для атома водорода наряду с конформной группой $O(4,2)$ Д. с. может являться также группа де Ситтера $O(4,1)$, а для трехмерного осциллятора - неоднородная симплектич. группа $\operatorname{ISp}(6, R)$ [для $N$-мерного осциллятора - ISp $(2 N, R)]$. Выбор той или иной группы Д. с. квантовой системы определяется удобством при расчетах. В физике элементарных частиц интерес к Д. с. связан с попытками установить симметрию лагранжиана взаимодействия по известному из опыта спектру масс частиц.

симметрия полного пространства векторов состояния системы, образующих одно неприводимое представление некоторой группы или алгебры Ли, операторы которой объединяют в одно семейство все состояния системы и включают в себя операторы переходов между различными состояниями. Вырождение уровней энергии квантовой системы, находящейся в стационарном состоянии, связано с наличием у нее нек-рой симметрии (группы инвариантности), то есть с наличием набора операторов, коммутирующих с гамильтонианом системы, к-рые обычно образуют конечномерную алгебру Ли. Помимо вырождений, связанных с явной симметрией гамильтониана (напр., относительно вращений в трехмерном пространстве), существует скрытая симметрия, объясняющая так наз. случайное вырождение уровней энергии системы. Примером такой симметрии, объясняющей вырождение уровней с одинаковым главным квантовым числом и различными орбитальными моментами в атоме водорода, является симметрия $O(4)$ в импульсном пространстве (фоковская симметрия; предложена В. А. Фоком в 1935). Аналогично «случайное» вырождение уровней трехмерного изотропного гармонич. осциллятора связано с наличием у него симметрии относительно унитарной группы $U(3)$. Операторы алгебры соответствующих групп переводят одно выбранное состояние, принадлежащее заданному уровню энергии, во все остальные состояния, принадлежащие тому же уровню энергии; при этом ортогональные состояния, принадлежащие данному уровню, образуют базис неприводимого представления группы симметрии (группы инвариантности). В отличие от группы инвариантности, действие операторов динамич. группы (группы неинвариантности, или динамич. алгебры Ли) на одно выбранное стационарное состояние квантовой системы порождает все остальные стационарные состояния системы, связывая таким образом все стационарные состояния системы, в том числе принадлежащие различным уровням, в одно семейство - мультиплет. При этом группа симметрии (группа инвариантности) системы является подгруппой группы Д.с. Так, для атомов водорода группой Д. с. является конформная $O(4,2)$ динамич. группа, одно неприводимое вырожденное представление к-рой содержит все его связанные состояния, а для трехмерного квантового гармонич. осциллятора - группа $U(3,1)$. Среди генераторов группы Д. с. обязательно есть не коммутирующие с гамильтонианом, действие к-рых переводит волновые функции состояний с одним уровнем энергии квантовой системы в волновые функции состояний с другими энергиями (то есть соответствует квантовым переходам между уровнями системы). Нахождение динамич. группы симметрии физич. задачи, с одной стороны, эквивалентно решению Шредингера уравнения (или Дирака уравнения, Клейна - Гордона уравнения) для данной системы, с другой стороны - позволяет использовать хорошо развитый математич. аппарат теории представлений групп Ли и получать соотношения типа рекуррентных соотношений для матричных элементов операторов физич. величин, что важно при расчетах физич. эффектов по теории возмущений (напр., при расчете эффекта Штарка для атома водорода). Группа Д. с. квантовой системы определяется неоднозначно. Так, для атома водорода наряду с конформной группой $O(4,2)$ Д. с. может являться также группа де Ситтера $O(4,1)$, а для трехмерного осциллятора - неоднородная симплектич. группа $\operatorname{ISp}(6, R)$ [для $N$-мерного осциллятора - ISp $(2 N, R)]$. Выбор той или иной группы Д. с. квантовой системы определяется удобством при расчетах. В физике элементарных частиц интерес к Д. с. связан с попытками установить симметрию лагранжиана взаимодействия по известному из опыта спектру масс частиц.