ДИРАКА МАТРИЦА

$(4 \times 4)$-матрица, действующая на спиновую переменную 4-компонентного спинора (биспинора) Дирака $(\psi)$. Д. м. входят в квантовое волновое уравнение для релятивистской частицы со спином $1 / 2$, а также в гамильтонианы взаимодействия полей, в случае если во взаимодействии участвуют частицы со спином $1 / 2$ (напр., в гамильтониан слабого взаимодействия). Д. м. $\alpha_{k}(k=1,2,3)$ и $\beta$ представляют собой эрмитовы матрицы, удовлетворяющие соотношениям \[ \left.\begin{array}{l} \alpha_{k} \alpha_{l}+\alpha_{l} \alpha_{k}=2 \delta_{k l}, \\ \alpha_{k} \beta+\beta \alpha_{k}=0, \quad \beta^{2}=1 \end{array}\right\} \] $\left(\delta_{k l}\right.$ - символ Кронекера). При вычислении сечений процессов с участием частиц со спином $1 / 2$ явный вид Д. м. не нужен, достаточно использовать соотношения (1). Однако при решении Дирака уравнения удобно пользоваться определенным представлением Д. м. Часто применяют представление, в к-ром матрица $\beta$ диагональна (представление Дирака-Паули). В этом представлении матрицы $\alpha_{k}$ и $\beta$ имеют вид: \[ \alpha_{k}=\left\|\begin{array}{ll} 0 & \sigma_{k} \\ \sigma_{k} & 0 \end{array}\right\|, \quad \beta=\left\|\begin{array}{rr} I & 0 \\ 0 & -I \end{array}\right\|, \] где $\sigma_{k}$ - Паули матрицы, а $I$ - единичная $(2 \times 2)$-матрица. Форма уравнения Дирака, записанного в ковариантном виде, зависит от выбора метрики. В метрике Паули $\left[x=\left(x, x_{4}=i x_{0}\right), \boldsymbol{x}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)-\right.$ пространственная координата, $x_{0}$ - время; применяется система единиц, в к-рой $\hbar=c=1$ ] уравнение Дирака для свободной частицы массы $m$ имеет вид: \[ \left(\gamma_{\mu} \frac{\partial}{\partial x_{\mu}}+m\right) \psi=0, \quad \mu=1,2,3,4 \] (здесь и далее по повторяющимся индексам - в данном случае по $\mu-$ производится суммирование), где \[ \gamma_{k}=i \alpha_{k} \beta=-i \beta \alpha_{k}, \gamma_{4}=\beta \] - эрмитовы матрицы, удовлетворяющие перестановочным соотношениям \[ \gamma_{\mu} \gamma_{v}+\gamma_{v} \gamma_{\mu}=2 \delta_{\mu v} \] Важную роль в физике частиц играет матрица \[ \gamma_{5}=\gamma_{1} \gamma_{2} \gamma_{3} \gamma_{4} \] удовлетворяющая соотношениям \[ \gamma_{\mu} \gamma_{5}+\gamma_{5} \gamma_{\mu}=0, \gamma_{5}^{2}=1, \gamma_{5}^{+}=\gamma_{5} \] ( ${ }^{+}$означает эрмитово сопряжение). В представлении Дирака-Паули матрица $\gamma_{5}$ имеет вид: \[ \gamma_{5}=\left\|\begin{array}{rr} 0 & -I \\ -I & 0 \end{array}\right\| \] Путем перемножения матриц $\gamma$ можно построить следующие 16 независимых Д. м.: \[ 1 ; \gamma_{\mu} ; \sigma_{\mu \nu}=\frac{1}{2 i}\left(\gamma_{\mu} \gamma_{v}-\gamma_{v} \gamma_{\mu}\right) ; \gamma_{\mu} \gamma_{5} ; \gamma_{5} . \] Любая $(4 \times 4)$-матрица может быть разложена по полной системе матриц (9). Между Д. м. имеет место ряд соотношений, часто использующихся в приложениях, напр.: \[ \left.\begin{array}{c} \gamma_{\mu} \gamma_{\rho} \gamma_{v}=\delta_{\mu \rho} \gamma_{v}+\delta_{\mu v} \gamma_{\rho}+\delta_{\rho v} \gamma_{\mu}-\varepsilon_{\mu v \rho \tau} \gamma_{\tau} \gamma_{5}, \\ \delta_{\mu \nu}=-\frac{1}{2} \varepsilon_{\mu v \rho \tau} \sigma_{\rho \tau} \gamma_{5} . \end{array}\right\} \] Здесь $\varepsilon_{\mu \nu \rho \tau}-$ абсолютно антисимметричный (относительно перестановки любых двух индексов) тензор, $\varepsilon_{1234}=1$. Если метрика выбрана так, что скалярное произведение 4-мерных векторов $\boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{B}$ равно: \[ \boldsymbol{A B}=\boldsymbol{A}^{0} \boldsymbol{B}^{0}-\boldsymbol{A B}=g_{\mu v} A^{\mu} \boldsymbol{B}^{\nu} \]\[ \mu, v=0,1,2,3 \] [то есть $x=\left(x^{0}, \boldsymbol{x}\right), x^{0}$ - время, $\boldsymbol{x}\left(x^{1}, x^{2}, x^{3}\right)$ ], где $g_{00}=1$, $g_{i k}=-\delta_{i k}, g_{0 i}=g_{i 0}=0$, то уравнение Дирака имеет вид: \[ \left(i \gamma^{\mu} \frac{\partial}{\partial x_{\mu}}-m\right) \psi=0 \] Матрицы $\gamma^{\mu}$ связаны с матрицами $\alpha$ и $\beta$ соотношениями \[ \gamma^{0}=\beta, \gamma^{k}=\beta \alpha_{k}, \gamma^{5}=-i \gamma^{0} \gamma^{1} \gamma^{2} \gamma^{3} \] и удовлетворяют перестановочным соотношениям \[ \gamma^{\mu} \gamma^{\nu}+\gamma^{v} \gamma^{\mu}=2 g^{\mu \nu} \] Из (13) видно, что $\gamma^{0}$ - эрмитова матрица, $\gamma^{k}-$ антиэрмитовы матрицы.

$(4 \times 4)$-матрица, действующая на спиновую переменную 4-компонентного спинора (биспинора) Дирака $(\psi)$. Д. м. входят в квантовое волновое уравнение для релятивистской частицы со спином $1 / 2$, а также в гамильтонианы взаимодействия полей, в случае если во взаимодействии участвуют частицы со спином $1 / 2$ (напр., в гамильтониан слабого взаимодействия). Д. м. $\alpha_{k}(k=1,2,3)$ и $\beta$ представляют собой эрмитовы матрицы, удовлетворяющие соотношениям \[ \left.\begin{array}{l} \alpha_{k} \alpha_{l}+\alpha_{l} \alpha_{k}=2 \delta_{k l}, \\ \alpha_{k} \beta+\beta \alpha_{k}=0, \quad \beta^{2}=1 \end{array}\right\} \] $\left(\delta_{k l}\right.$ - символ Кронекера). При вычислении сечений процессов с участием частиц со спином $1 / 2$ явный вид Д. м. не нужен, достаточно использовать соотношения (1). Однако при решении Дирака уравнения удобно пользоваться определенным представлением Д. м. Часто применяют представление, в к-ром матрица $\beta$ диагональна (представление Дирака-Паули). В этом представлении матрицы $\alpha_{k}$ и $\beta$ имеют вид: \[ \alpha_{k}=\left\|\begin{array}{ll} 0 & \sigma_{k} \\ \sigma_{k} & 0 \end{array}\right\|, \quad \beta=\left\|\begin{array}{rr} I & 0 \\ 0 & -I \end{array}\right\|, \] где $\sigma_{k}$ - Паули матрицы, а $I$ - единичная $(2 \times 2)$-матрица. Форма уравнения Дирака, записанного в ковариантном виде, зависит от выбора метрики. В метрике Паули $\left[x=\left(x, x_{4}=i x_{0}\right), \boldsymbol{x}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)-\right.$ пространственная координата, $x_{0}$ - время; применяется система единиц, в к-рой $\hbar=c=1$ ] уравнение Дирака для свободной частицы массы $m$ имеет вид: \[ \left(\gamma_{\mu} \frac{\partial}{\partial x_{\mu}}+m\right) \psi=0, \quad \mu=1,2,3,4 \] (здесь и далее по повторяющимся индексам - в данном случае по $\mu-$ производится суммирование), где \[ \gamma_{k}=i \alpha_{k} \beta=-i \beta \alpha_{k}, \gamma_{4}=\beta \] - эрмитовы матрицы, удовлетворяющие перестановочным соотношениям \[ \gamma_{\mu} \gamma_{v}+\gamma_{v} \gamma_{\mu}=2 \delta_{\mu v} \] Важную роль в физике частиц играет матрица \[ \gamma_{5}=\gamma_{1} \gamma_{2} \gamma_{3} \gamma_{4} \] удовлетворяющая соотношениям \[ \gamma_{\mu} \gamma_{5}+\gamma_{5} \gamma_{\mu}=0, \gamma_{5}^{2}=1, \gamma_{5}^{+}=\gamma_{5} \] ( ${ }^{+}$означает эрмитово сопряжение). В представлении Дирака-Паули матрица $\gamma_{5}$ имеет вид: \[ \gamma_{5}=\left\|\begin{array}{rr} 0 & -I \\ -I & 0 \end{array}\right\| \] Путем перемножения матриц $\gamma$ можно построить следующие 16 независимых Д. м.: \[ 1 ; \gamma_{\mu} ; \sigma_{\mu \nu}=\frac{1}{2 i}\left(\gamma_{\mu} \gamma_{v}-\gamma_{v} \gamma_{\mu}\right) ; \gamma_{\mu} \gamma_{5} ; \gamma_{5} . \] Любая $(4 \times 4)$-матрица может быть разложена по полной системе матриц (9). Между Д. м. имеет место ряд соотношений, часто использующихся в приложениях, напр.: \[ \left.\begin{array}{c} \gamma_{\mu} \gamma_{\rho} \gamma_{v}=\delta_{\mu \rho} \gamma_{v}+\delta_{\mu v} \gamma_{\rho}+\delta_{\rho v} \gamma_{\mu}-\varepsilon_{\mu v \rho \tau} \gamma_{\tau} \gamma_{5}, \\ \delta_{\mu \nu}=-\frac{1}{2} \varepsilon_{\mu v \rho \tau} \sigma_{\rho \tau} \gamma_{5} . \end{array}\right\} \] Здесь $\varepsilon_{\mu \nu \rho \tau}-$ абсолютно антисимметричный (относительно перестановки любых двух индексов) тензор, $\varepsilon_{1234}=1$. Если метрика выбрана так, что скалярное произведение 4-мерных векторов $\boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{B}$ равно: \[ \boldsymbol{A B}=\boldsymbol{A}^{0} \boldsymbol{B}^{0}-\boldsymbol{A B}=g_{\mu v} A^{\mu} \boldsymbol{B}^{\nu} \]\[ \mu, v=0,1,2,3 \] [то есть $x=\left(x^{0}, \boldsymbol{x}\right), x^{0}$ - время, $\boldsymbol{x}\left(x^{1}, x^{2}, x^{3}\right)$ ], где $g_{00}=1$, $g_{i k}=-\delta_{i k}, g_{0 i}=g_{i 0}=0$, то уравнение Дирака имеет вид: \[ \left(i \gamma^{\mu} \frac{\partial}{\partial x_{\mu}}-m\right) \psi=0 \] Матрицы $\gamma^{\mu}$ связаны с матрицами $\alpha$ и $\beta$ соотношениями \[ \gamma^{0}=\beta, \gamma^{k}=\beta \alpha_{k}, \gamma^{5}=-i \gamma^{0} \gamma^{1} \gamma^{2} \gamma^{3} \] и удовлетворяют перестановочным соотношениям \[ \gamma^{\mu} \gamma^{\nu}+\gamma^{v} \gamma^{\mu}=2 g^{\mu \nu} \] Из (13) видно, что $\gamma^{0}$ - эрмитова матрица, $\gamma^{k}-$ антиэрмитовы матрицы.