ДИРАКА ПОЛЕ

физическое поле частиц со спином $1 / 2$ (электронов, мюонов, кварков и др.). При Лоренца преобразованиях и поворотах в пространстве преобразуется как 4-компонентный спинор (биспинор). В квантовой теории поля во взаимодействия представлении оператор Д. п. $\psi(x)$ удовлетворяет Дирака уравнению для свободной частицы. Лагранжиан свободного Д. п. имеет вид (в системе единиц $\hbar=c=1)$ \[ L=\bar{\psi}\left(i \gamma^{\mu} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}-m\right) \psi \] где по повторяющемуся индексу $\mu=0,1,2,3$ производится суммирование; $m$ - масса спинорной частицы, $\gamma^{\mu}$ - Дирака матрицы, $x^{\mu}-4$-мерные координаты, черта над $\psi$ означает дираковское сопряжение: $\bar{\psi}=\psi^{+} \gamma^{0}$ (крестом помечено эрмитово сопряжение). 4-мерный вектор энергии-импульса (4-импульса) \[ P_{\mu}=i \int \bar{\psi} \gamma^{0} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \psi d x \] является сохраняющейся величиной. Здесь $P_{0}$ - энергия, $\boldsymbol{P}-$ импульс Д. п. [интегрирование в (2) проводится по всему пространству]. Если $\psi$ - неэрмитов оператор, то Д. п. описывает заряженные частицы, при этом оператор заряда дается выражением \[ Q=e \int \bar{\psi} \gamma^{0} \psi \dot{d x} \] где $e$ - заряд частицы. Сохранение заряда поля является следствием инвариантности относительно глобальных калибровочных преобразований. Разложение оператора $\psi(x)$ по полной системе решений уравнения Дирака с определенными импульсами имеет вид: \[ \begin{gathered} \psi(x)=\frac{1}{(2 \pi)^{3 / 2}} \int \frac{1}{\sqrt{2 p_{0}}}\left[a_{\lambda}(p) e^{-i p x} u_{\lambda}(p)+\right. \\ \left.+\tilde{a}_{\lambda}^{+}(p) e^{i p x} u_{\lambda}(-p)\right] d p . \end{gathered} \] Здесь $a_{\lambda}(p)$ и $\tilde{a}_{\lambda}^{+}(p)$ - операторы уничтожения частицы и рождения античастицы с 4-импульсом $p=\left(\sqrt{m^{2}+p^{2}}, p\right)$ и спиральностью $\lambda= \pm 1 / 2$, а спиноры $u_{\lambda}(p), u_{\lambda}(-p)$ удовлетворяют уравнениям \[ \left.\begin{array}{c} \left(\gamma^{\mu} p_{\mu}-m\right) u_{\lambda}(p)=0, \\ \left(\gamma^{\mu} p_{\mu}+m\right) u_{\lambda}(-p)=0, \\ \left(\gamma^{\mu} p_{\mu}=\gamma^{0} p^{0}-\gamma^{\alpha} p^{\alpha}, \alpha=1,2,3\right) . \end{array}\right\} \] Д. п. квантуется так, чтобы для системы частиц выполнялся принцип Паули. В соответствии с этим принципом операторы рождения и уничтожения удовлетворяют перестановочным соотношениям антикоммутации \[ \begin{gathered} {\left[a_{\lambda}(p), a_{\lambda^{\prime}}^{+}\left(p^{\prime}\right)\right]_{+}=\delta_{\lambda \lambda^{\prime}} \delta\left(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{p}^{\prime}\right),} \\ {\left[\tilde{a}_{\lambda}(p), \tilde{a}_{\lambda^{\prime}}^{+}\left(p^{\prime}\right)\right]_{+}=\delta_{\lambda \lambda^{\prime}} \delta\left(p-p^{\prime}\right),} \\ {\left[a_{\lambda}(p), a_{\lambda^{\prime}}\left(p^{\prime}\right)\right]_{+}=\left[\tilde{a}_{\lambda}(p), \tilde{a}_{\lambda^{\prime}}\left(p^{\prime}\right)\right]_{+}=} \\ =\left[a_{\lambda}(p), \tilde{a}_{\lambda^{\prime}}\left(p^{\prime}\right)\right]_{+}=0 . \end{gathered} \] Операторы 4-импульса $P_{\mu}$ и заряда $Q$ Д. п. следующим образом выражаются через операторы рождения и уничтожения: \[ \left.\begin{array}{rl} P_{\mu} & =\int\left[a_{\lambda}^{+}(p) a_{\lambda}(p)+\tilde{a}_{\lambda}^{+}(p) \tilde{a}_{\lambda}(p)\right] p_{\mu} d p, \\ Q & =e \int\left[a_{\lambda}^{+}(p) a_{\lambda}(p)-\tilde{a}_{\lambda}^{+}(p) \tilde{a}_{\lambda}(p)\right] \boldsymbol{d p} \end{array}\right\} \] (операторы $a_{\lambda}^{+}(p) a_{\lambda}(p)$ и $\tilde{a}_{\lambda}^{+}(p) \tilde{a}_{\lambda}(p)$ являются соответственно операторами числа частиц и числа античастиц в состоянии с 4-импульсом $p$ и спиральностью $\lambda$ ). Полная система векторов состояния строится путем действия операторов $a_{\lambda}^{+}$и $\tilde{a}_{\lambda}^{+}$на вакуумное состояние $|0\rangle$. Так, $a_{\lambda}^{+}(p)|0\rangle$ и $\tilde{a}_{\lambda}^{+}(p)|0\rangle$ представляют собой векторы одночастичного состояния (соответственно) частицы и античастицы с импульсом $p$ и спиральностью $\lambda$, а вектор \[ a_{\lambda_{1}}^{+}\left(p_{1}\right) a_{\lambda_{2}}^{+}\left(p_{2}\right) \ldots a_{\lambda_{n}}^{+}\left(p_{n}\right)|0\rangle \] описывает состояние $n$ частиц с импульсами и спиральностями $p_{1}, \lambda_{1} ; p_{2}, \lambda_{2} ; \ldots ; p_{n}, \lambda_{n}$. В соответствии с Ферми-Дирака статистикой вектор (8) антисимметричен относительно перестановки любой пары переменных $p_{i}, \lambda_{i}, i=1,2, \ldots, n$.

физическое поле частиц со спином $1 / 2$ (электронов, мюонов, кварков и др.). При Лоренца преобразованиях и поворотах в пространстве преобразуется как 4-компонентный спинор (биспинор). В квантовой теории поля во взаимодействия представлении оператор Д. п. $\psi(x)$ удовлетворяет Дирака уравнению для свободной частицы. Лагранжиан свободного Д. п. имеет вид (в системе единиц $\hbar=c=1)$ \[ L=\bar{\psi}\left(i \gamma^{\mu} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}-m\right) \psi \] где по повторяющемуся индексу $\mu=0,1,2,3$ производится суммирование; $m$ - масса спинорной частицы, $\gamma^{\mu}$ - Дирака матрицы, $x^{\mu}-4$-мерные координаты, черта над $\psi$ означает дираковское сопряжение: $\bar{\psi}=\psi^{+} \gamma^{0}$ (крестом помечено эрмитово сопряжение). 4-мерный вектор энергии-импульса (4-импульса) \[ P_{\mu}=i \int \bar{\psi} \gamma^{0} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \psi d x \] является сохраняющейся величиной. Здесь $P_{0}$ - энергия, $\boldsymbol{P}-$ импульс Д. п. [интегрирование в (2) проводится по всему пространству]. Если $\psi$ - неэрмитов оператор, то Д. п. описывает заряженные частицы, при этом оператор заряда дается выражением \[ Q=e \int \bar{\psi} \gamma^{0} \psi \dot{d x} \] где $e$ - заряд частицы. Сохранение заряда поля является следствием инвариантности относительно глобальных калибровочных преобразований. Разложение оператора $\psi(x)$ по полной системе решений уравнения Дирака с определенными импульсами имеет вид: \[ \begin{gathered} \psi(x)=\frac{1}{(2 \pi)^{3 / 2}} \int \frac{1}{\sqrt{2 p_{0}}}\left[a_{\lambda}(p) e^{-i p x} u_{\lambda}(p)+\right. \\ \left.+\tilde{a}_{\lambda}^{+}(p) e^{i p x} u_{\lambda}(-p)\right] d p . \end{gathered} \] Здесь $a_{\lambda}(p)$ и $\tilde{a}_{\lambda}^{+}(p)$ - операторы уничтожения частицы и рождения античастицы с 4-импульсом $p=\left(\sqrt{m^{2}+p^{2}}, p\right)$ и спиральностью $\lambda= \pm 1 / 2$, а спиноры $u_{\lambda}(p), u_{\lambda}(-p)$ удовлетворяют уравнениям \[ \left.\begin{array}{c} \left(\gamma^{\mu} p_{\mu}-m\right) u_{\lambda}(p)=0, \\ \left(\gamma^{\mu} p_{\mu}+m\right) u_{\lambda}(-p)=0, \\ \left(\gamma^{\mu} p_{\mu}=\gamma^{0} p^{0}-\gamma^{\alpha} p^{\alpha}, \alpha=1,2,3\right) . \end{array}\right\} \] Д. п. квантуется так, чтобы для системы частиц выполнялся принцип Паули. В соответствии с этим принципом операторы рождения и уничтожения удовлетворяют перестановочным соотношениям антикоммутации \[ \begin{gathered} {\left[a_{\lambda}(p), a_{\lambda^{\prime}}^{+}\left(p^{\prime}\right)\right]_{+}=\delta_{\lambda \lambda^{\prime}} \delta\left(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{p}^{\prime}\right),} \\ {\left[\tilde{a}_{\lambda}(p), \tilde{a}_{\lambda^{\prime}}^{+}\left(p^{\prime}\right)\right]_{+}=\delta_{\lambda \lambda^{\prime}} \delta\left(p-p^{\prime}\right),} \\ {\left[a_{\lambda}(p), a_{\lambda^{\prime}}\left(p^{\prime}\right)\right]_{+}=\left[\tilde{a}_{\lambda}(p), \tilde{a}_{\lambda^{\prime}}\left(p^{\prime}\right)\right]_{+}=} \\ =\left[a_{\lambda}(p), \tilde{a}_{\lambda^{\prime}}\left(p^{\prime}\right)\right]_{+}=0 . \end{gathered} \] Операторы 4-импульса $P_{\mu}$ и заряда $Q$ Д. п. следующим образом выражаются через операторы рождения и уничтожения: \[ \left.\begin{array}{rl} P_{\mu} & =\int\left[a_{\lambda}^{+}(p) a_{\lambda}(p)+\tilde{a}_{\lambda}^{+}(p) \tilde{a}_{\lambda}(p)\right] p_{\mu} d p, \\ Q & =e \int\left[a_{\lambda}^{+}(p) a_{\lambda}(p)-\tilde{a}_{\lambda}^{+}(p) \tilde{a}_{\lambda}(p)\right] \boldsymbol{d p} \end{array}\right\} \] (операторы $a_{\lambda}^{+}(p) a_{\lambda}(p)$ и $\tilde{a}_{\lambda}^{+}(p) \tilde{a}_{\lambda}(p)$ являются соответственно операторами числа частиц и числа античастиц в состоянии с 4-импульсом $p$ и спиральностью $\lambda$ ). Полная система векторов состояния строится путем действия операторов $a_{\lambda}^{+}$и $\tilde{a}_{\lambda}^{+}$на вакуумное состояние $|0\rangle$. Так, $a_{\lambda}^{+}(p)|0\rangle$ и $\tilde{a}_{\lambda}^{+}(p)|0\rangle$ представляют собой векторы одночастичного состояния (соответственно) частицы и античастицы с импульсом $p$ и спиральностью $\lambda$, а вектор \[ a_{\lambda_{1}}^{+}\left(p_{1}\right) a_{\lambda_{2}}^{+}\left(p_{2}\right) \ldots a_{\lambda_{n}}^{+}\left(p_{n}\right)|0\rangle \] описывает состояние $n$ частиц с импульсами и спиральностями $p_{1}, \lambda_{1} ; p_{2}, \lambda_{2} ; \ldots ; p_{n}, \lambda_{n}$. В соответствии с Ферми-Дирака статистикой вектор (8) антисимметричен относительно перестановки любой пары переменных $p_{i}, \lambda_{i}, i=1,2, \ldots, n$.