ДИРИХЛЕ ЗАДАЧА, ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

одна из краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Пусть, напр., в ограниченной области $\Omega$ с границей $\Gamma$ задано эллиптич. уравнение 2-го порядка \[ \begin{gathered} L_{u}=\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j}(x) \frac{\partial^{2} u(x)}{\partial x_{i} \partial x_{j}}+ \\ +\sum_{i=1}^{n} b_{i}(x) \frac{\partial u(x)}{\partial x_{i}}+c(x) u(x)=f(x), \end{gathered} \] где $x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right), n \geqslant 2$. Задачей Дирихле для уравнения (1) в области $\Omega$ называется следующая задача: из множества всех решений уравнения (1) требуется выделить те, к-рые в каждой граничной точке удовлетворяют условию \[ \left.u(x)\right|_{x \in \Gamma}=\varphi(x), \] где $\varphi(x)$ - заданная непрерывная функция. Вопросы, связанные с этой задачей, рассматривались еще К. Гауссом (C. Gauss, 1840), а затем П. Дирихле (P. Dirichlet, 1850). Для областей $\Omega$ с достаточно гладкой границей $\Gamma$ решение $u(x)$ Д. з. можно представить интегральной формулой \[ u(x)=\int_{\Gamma} \varphi\left(x_{0}\right) \frac{\partial G\left(x, x_{0}\right)}{\partial n_{0}} d \sigma, \] где $\partial G\left(x, x_{0}\right) / \partial n_{0}-$ производная по направлению внутренней нормали, взятая от функции Грина $G\left(x, x_{0}\right)$, однозначно характеризуемой следующими свойствами: 1) $G\left(x, x_{0}\right)=s_{n}^{-1} r^{2-n}+\gamma\left(x, x_{0}\right)$ при $n \geqslant 3$ или \[ G\left(x, x_{0}\right)=\frac{1}{2 \pi} \ln \frac{1}{r}+\gamma\left(x, x_{0}\right) \text { при } n=2, \] где $r=\left|x-x_{0}\right|-$ расстояние между точками $x$ и $x_{0}, s_{n}-$ площадь единичной сферы в $\mathbb{R}^{n}, \gamma\left(x, x_{0}\right)$ - регулярная в $\Omega$ гармонич. функция как относительно координат $x$, так и относительно координат $x_{0}$; 2) $G\left(x, x_{0}\right)=0$, когда $x_{0} \in \Omega, x \in \Gamma$. Для шара, полупространства и нек-рых других простейших областей функция Грина строится явно и формула (1) дает эффективное решение Д. з. Получаемые при этом для шара и полупространства формулы носят название Пуассона формул. Д. з. является одной из основных проблем теории потенциала. Она служила и служит как бы пробным камнем для разрабатываемых новых методов, к-рые затем, в той или иной мере, становятся достоянием общей теории уравнений $\begin{array}{ll}\text { с частными производными. } & \text { В. И. Битюиков. }\end{array}$

одна из краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Пусть, напр., в ограниченной области $\Omega$ с границей $\Gamma$ задано эллиптич. уравнение 2-го порядка \[ \begin{gathered} L_{u}=\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j}(x) \frac{\partial^{2} u(x)}{\partial x_{i} \partial x_{j}}+ \\ +\sum_{i=1}^{n} b_{i}(x) \frac{\partial u(x)}{\partial x_{i}}+c(x) u(x)=f(x), \end{gathered} \] где $x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right), n \geqslant 2$. Задачей Дирихле для уравнения (1) в области $\Omega$ называется следующая задача: из множества всех решений уравнения (1) требуется выделить те, к-рые в каждой граничной точке удовлетворяют условию \[ \left.u(x)\right|_{x \in \Gamma}=\varphi(x), \] где $\varphi(x)$ - заданная непрерывная функция. Вопросы, связанные с этой задачей, рассматривались еще К. Гауссом (C. Gauss, 1840), а затем П. Дирихле (P. Dirichlet, 1850). Для областей $\Omega$ с достаточно гладкой границей $\Gamma$ решение $u(x)$ Д. з. можно представить интегральной формулой \[ u(x)=\int_{\Gamma} \varphi\left(x_{0}\right) \frac{\partial G\left(x, x_{0}\right)}{\partial n_{0}} d \sigma, \] где $\partial G\left(x, x_{0}\right) / \partial n_{0}-$ производная по направлению внутренней нормали, взятая от функции Грина $G\left(x, x_{0}\right)$, однозначно характеризуемой следующими свойствами: 1) $G\left(x, x_{0}\right)=s_{n}^{-1} r^{2-n}+\gamma\left(x, x_{0}\right)$ при $n \geqslant 3$ или \[ G\left(x, x_{0}\right)=\frac{1}{2 \pi} \ln \frac{1}{r}+\gamma\left(x, x_{0}\right) \text { при } n=2, \] где $r=\left|x-x_{0}\right|-$ расстояние между точками $x$ и $x_{0}, s_{n}-$ площадь единичной сферы в $\mathbb{R}^{n}, \gamma\left(x, x_{0}\right)$ - регулярная в $\Omega$ гармонич. функция как относительно координат $x$, так и относительно координат $x_{0}$; 2) $G\left(x, x_{0}\right)=0$, когда $x_{0} \in \Omega, x \in \Gamma$. Для шара, полупространства и нек-рых других простейших областей функция Грина строится явно и формула (1) дает эффективное решение Д. з. Получаемые при этом для шара и полупространства формулы носят название Пуассона формул. Д. з. является одной из основных проблем теории потенциала. Она служила и служит как бы пробным камнем для разрабатываемых новых методов, к-рые затем, в той или иной мере, становятся достоянием общей теории уравнений $\begin{array}{ll}\text { с частными производными. } & \text { В. И. Битюиков. }\end{array}$