ДИСТАЛЬНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

Динамическая система $\left\{T^{t}\right\}$ с метрическим фазовым пространством $X$ такая, что для любых точек $x \neq y$ нижняя грань расстояний \[ \inf _{t} \rho\left(T^{t} x, T^{t} y\right)>0 \] Если в нек-рой динамич. системе какая-либо пара точек $x \neq y$ обладает последним свойством, то говорят, что эта пара точек дистальна; таким образом, Д. д. с.- это динамич. система, для к-рой все пары точек $x \neq y$ дистальны. Приведенное определение годится для «общих» динамич. систем, когда «время» $t$ пробегает произвольную группу $\boldsymbol{G}$. Содержательные результаты получаются, если $G$ локально компактна (основными являются «классические» случаи каскада или потока, то есть когда $G=\mathbb{Z}$ или $G=\mathbb{R}$, но рассуждения при этом почти не упрощаются), а $X$ компактно. Особый интерес при этом представляет тот случай, когда $X$ является минимальным множеством (общий случай в известном смысле сводится к этому, а именно, при указанных ограничениях на $G$ и $X$ замыкание каждой траектории оказывается минимальным множеством). Важнейший пример Д. д. с.- система, возникающая в замыкании почти периодич. траектории какой-нибудь динамич. системы. Другой пример - нильпотоки (см. [1]). Как и в этих примерах, строение Д. д. с. с минимальным множеством $X$ при указанных условиях допускает довольно детальное описание алгебраич. характера (см. [2]; изложение теории Д. д. с. и их обобщений и библиографию см. в [3]).

Динамическая система $\left\{T^{t}\right\}$ с метрическим фазовым пространством $X$ такая, что для любых точек $x \neq y$ нижняя грань расстояний \[ \inf _{t} \rho\left(T^{t} x, T^{t} y\right)>0 \] Если в нек-рой динамич. системе какая-либо пара точек $x \neq y$ обладает последним свойством, то говорят, что эта пара точек дистальна; таким образом, Д. д. с.- это динамич. система, для к-рой все пары точек $x \neq y$ дистальны. Приведенное определение годится для «общих» динамич. систем, когда «время» $t$ пробегает произвольную группу $\boldsymbol{G}$. Содержательные результаты получаются, если $G$ локально компактна (основными являются «классические» случаи каскада или потока, то есть когда $G=\mathbb{Z}$ или $G=\mathbb{R}$, но рассуждения при этом почти не упрощаются), а $X$ компактно. Особый интерес при этом представляет тот случай, когда $X$ является минимальным множеством (общий случай в известном смысле сводится к этому, а именно, при указанных ограничениях на $G$ и $X$ замыкание каждой траектории оказывается минимальным множеством). Важнейший пример Д. д. с.- система, возникающая в замыкании почти периодич. траектории какой-нибудь динамич. системы. Другой пример - нильпотоки (см. [1]). Как и в этих примерах, строение Д. д. с. с минимальным множеством $X$ при указанных условиях допускает довольно детальное описание алгебраич. характера (см. [2]; изложение теории Д. д. с. и их обобщений и библиографию см. в [3]).