ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

уравнение, связывающее искомую функцию $u(x)$, ее первые производные $D_{i} u=u_{x_{i}}, i=1, \ldots, n$, и независимые переменные $x=\left(x_{1}\right.$, ..., $x_{n}$ ). Всякая система Д.у. с частными производными может быть приведена к нек-рой системе уравнений 1-го порядка. Для этого достаточно ввести в качестве новых искомых функций все частные производные от каждой функции $u_{i}(x)$ до порядка $l_{i}-1$ включительно, если хотя бы одна производная порядка $l_{i}$ входит в какое-либо уравнение рассматриваемой системы. При этом систему следует пополнить новыми уравнениями, выражающими равенство различных смешанных производных. Напр., уравнение 2-го порядка \[ F\left(x, y, u, u_{x}, u_{y}, u_{x x}, u_{x y}, u_{y y}\right)=0 \] после введения вспомогательных искомых функций $v=u_{x}$, $w=u_{y}$ приводится к следующей системе уравнений 1-го порядка: \[ \begin{gathered} F\left(x, y, u, v, w, v_{x}, v_{y}, w_{y}\right)=0, \\ u_{x}-v=0, \\ u_{y}-w=0, \\ v_{y}-w_{x}=0 \end{gathered} \] (последние три уравнения не независимы). Одно Д.у. с частными производными 1-го порядка с одной искомой функцией задается соотношением: \[ F(x, u, p)=0 \text {, } \] где $p=\left(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}\right)=\left(D_{1} u, D_{2} u, \ldots, D_{n} u\right)$. Всякое решение $u=u(x)$ уравнения (1) при определенных требованиях определяет нек-рую поверхность (интегральную поверхность) в пространстве $\mathbb{R}^{n+1}$ переменных $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, u\right)$, причем $p_{i}$ являются компонентами вектора нормали к этой поверхности. Полным интегралом уравнения (1) называется решение \[ u=\varphi(x, a) \] уравнения (1), существенно зависящее от $n$ параметров $a=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$. Если из $n$-параметрич. семейства поверхностей (2) выделить $(n-k)$-параметрич. семейство, предполагая параметры $a$ связанными $k$ соотношениями $\omega_{i}(a)=0, i=1,2, \ldots, k$, то соответствующие решения, зависящие от произвольных функций, называются общими интегралами. Переопределенные системы - это системы уравнений вида (1), в к-рых число независимых уравнений больше числа искомых функций. Такие системы, вообще говоря, противоречивы, и выделение классов непротиворечивых (совместных) систем составляет предмет теории совместности Д. у. с частными производными.

уравнение, связывающее искомую функцию $u(x)$, ее первые производные $D_{i} u=u_{x_{i}}, i=1, \ldots, n$, и независимые переменные $x=\left(x_{1}\right.$, ..., $x_{n}$ ). Всякая система Д.у. с частными производными может быть приведена к нек-рой системе уравнений 1-го порядка. Для этого достаточно ввести в качестве новых искомых функций все частные производные от каждой функции $u_{i}(x)$ до порядка $l_{i}-1$ включительно, если хотя бы одна производная порядка $l_{i}$ входит в какое-либо уравнение рассматриваемой системы. При этом систему следует пополнить новыми уравнениями, выражающими равенство различных смешанных производных. Напр., уравнение 2-го порядка \[ F\left(x, y, u, u_{x}, u_{y}, u_{x x}, u_{x y}, u_{y y}\right)=0 \] после введения вспомогательных искомых функций $v=u_{x}$, $w=u_{y}$ приводится к следующей системе уравнений 1-го порядка: \[ \begin{gathered} F\left(x, y, u, v, w, v_{x}, v_{y}, w_{y}\right)=0, \\ u_{x}-v=0, \\ u_{y}-w=0, \\ v_{y}-w_{x}=0 \end{gathered} \] (последние три уравнения не независимы). Одно Д.у. с частными производными 1-го порядка с одной искомой функцией задается соотношением: \[ F(x, u, p)=0 \text {, } \] где $p=\left(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}\right)=\left(D_{1} u, D_{2} u, \ldots, D_{n} u\right)$. Всякое решение $u=u(x)$ уравнения (1) при определенных требованиях определяет нек-рую поверхность (интегральную поверхность) в пространстве $\mathbb{R}^{n+1}$ переменных $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, u\right)$, причем $p_{i}$ являются компонентами вектора нормали к этой поверхности. Полным интегралом уравнения (1) называется решение \[ u=\varphi(x, a) \] уравнения (1), существенно зависящее от $n$ параметров $a=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$. Если из $n$-параметрич. семейства поверхностей (2) выделить $(n-k)$-параметрич. семейство, предполагая параметры $a$ связанными $k$ соотношениями $\omega_{i}(a)=0, i=1,2, \ldots, k$, то соответствующие решения, зависящие от произвольных функций, называются общими интегралами. Переопределенные системы - это системы уравнений вида (1), в к-рых число независимых уравнений больше числа искомых функций. Такие системы, вообще говоря, противоречивы, и выделение классов непротиворечивых (совместных) систем составляет предмет теории совместности Д. у. с частными производными.