ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

конечномерное векторное пространство с положительно определенным скалярным произведением. Является непосредственным обобщением обычного трехмерного пространства. В Е. П. существуют декартовы координаты, в к-рых скалярное произведение $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$ векторов $\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ и $\boldsymbol{y}=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$ имеет вид: \[ (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=x_{1} y_{1}+\ldots+x_{n} y_{n} \] В произвольных координатах скалярное произведение по определению удовлетворяет условиям: 1) $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}) \geqslant 0,(\boldsymbol{x}$, $\boldsymbol{x})=0$ лишь при $\left.\boldsymbol{x}=0 ; 2)(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})^{*} ; 3\right)(\alpha \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\alpha(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$; 4) $(x, y+z)=(x, y)+(x, z)$, где $\alpha-$ любое комплексное число, * означает комплексное сопряжение. В Е. п. имеет место неравенство Коши \[ |(x, y)|^{2} \leqslant(x, x)(y, y) . \] Число \[ |\boldsymbol{x}|=\sqrt{(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x})} \] называется нормой (или длиной) вектора $x$, а угол $\theta$ между векторами $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ находят из формулы \[ \cos \theta=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) /|\boldsymbol{x}||\boldsymbol{y}| \text {. } \] Первоначально евклидовыми назывались пространства, в к-рых выполнены аксиомы евклидовой геометрии, основными понятиями к-рой являются длина векторов и угол между ними. Бесконечномерное Е. п. обычно называется гильбертовым пространством. Пространство, в к-ром нарушено условие 1) положительности скалярного произведения, называется псевдоевклидовым пространством.

конечномерное векторное пространство с положительно определенным скалярным произведением. Является непосредственным обобщением обычного трехмерного пространства. В Е. П. существуют декартовы координаты, в к-рых скалярное произведение $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$ векторов $\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ и $\boldsymbol{y}=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$ имеет вид: \[ (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=x_{1} y_{1}+\ldots+x_{n} y_{n} \] В произвольных координатах скалярное произведение по определению удовлетворяет условиям: 1) $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}) \geqslant 0,(\boldsymbol{x}$, $\boldsymbol{x})=0$ лишь при $\left.\boldsymbol{x}=0 ; 2)(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})^{*} ; 3\right)(\alpha \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\alpha(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$; 4) $(x, y+z)=(x, y)+(x, z)$, где $\alpha-$ любое комплексное число, * означает комплексное сопряжение. В Е. п. имеет место неравенство Коши \[ |(x, y)|^{2} \leqslant(x, x)(y, y) . \] Число \[ |\boldsymbol{x}|=\sqrt{(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x})} \] называется нормой (или длиной) вектора $x$, а угол $\theta$ между векторами $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ находят из формулы \[ \cos \theta=(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) /|\boldsymbol{x}||\boldsymbol{y}| \text {. } \] Первоначально евклидовыми назывались пространства, в к-рых выполнены аксиомы евклидовой геометрии, основными понятиями к-рой являются длина векторов и угол между ними. Бесконечномерное Е. п. обычно называется гильбертовым пространством. Пространство, в к-ром нарушено условие 1) положительности скалярного произведения, называется псевдоевклидовым пространством.