ИЗГИБАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ

непрерывная деформация поверхности, при которой длины кривых на ней не изменяются. Следовательно, И. п. является непрерывным семейством так наз. изометрических преобразований поверхности, то есть таких отображений поверхности в пространство, для к-рых поверхность-образ имеет ту же метрику, что и исходная поверхность-прообраз. Если поверхность допускает только тривиальное (то есть сводящееся к движению поверхности в пространстве как твердого тела) изгибание, то она называется неизгибаемой. Если для данной поверхности $S$ любая изометричная ей поверхность получается из $S$ движением с возможным добавлением зеркального отражения, то говорят, что $S$ однозначно определяется своей метрикой. Если поверхность $S^{*}$, изометричная $S$, получается из $S$ в процессе нек-рого ее изгибания, то говорят, что $S$ наложима на $S^{*}$. Если поверхность $S$ рассматривается как изометрич. погружение в пространство нек-рого риманова многообразия, то вопрос об однозначной определенности $S$ сводится к вопросу о единственности решения нек-рой системы дифференциальных уравнений, а вопрос об изгибаемости $S-$ к существованию для этой системы непрерывного семейства решений, включающего $S$. Пример нетривиального изгибания - процесс сворачивания листа бумаги «в трубочку», без разрывов и растяжения материалов. Начальное поле скоростей гладкого (относительно нек-рого параметра $t$, принимаемого за время) И. п. порождает деформацию, называемую бесконечно малым изгибанием. При нетривиальных (то есть не являющихся начальным полем скоростей нек-рого движения) бесконечно малых И. п. расстояния на поверхности изменяются на порядок $o(t), t \rightarrow 0$, в то время как пространственные расстояния между точками поверхности изменяются, вообще говоря, на порядок $O(t)$. Поверхность, не допускающая нетривиальных бесконечно малых изгибаний, называется жесткой, в противном случае - нежесткой. Существование и свойства изгибаний и бесконечно малых И. п. существенно зависят от топологич. типа поверхности, от знака ее кривизны, от степени гладкости поверхности ее деформаций и т. д. Наиболее подробно эти вопросы изучены для поверхностей положительной кривизны в $\mathbb{R}^{3}$. Напр., доказано, что замкнутая выпуклая поверхность является неизгибаемой и жесткой. Примеров замкнутых изгибаемых поверхностей (в классе гладкости $C^{n}, n \geqslant 2$ ) пока неизвестно (1997), хотя замкнутые нежесткие поверхности существуют даже в аналитич. классе гладкости. Изгибания и, особенно, бесконечно малые изгибания, тесно связаны с теорией упругих оболочек, так как при упругих деформациях растяжения в материале малы по сравнению с возможными изменениями внешней формы оболочки. Геометрич. жесткость или неизгибаемость поверхности означает устойчивость состояния равновесия оболочки в нек-ром диапазоне внутренних напряжений.

непрерывная деформация поверхности, при которой длины кривых на ней не изменяются. Следовательно, И. п. является непрерывным семейством так наз. изометрических преобразований поверхности, то есть таких отображений поверхности в пространство, для к-рых поверхность-образ имеет ту же метрику, что и исходная поверхность-прообраз. Если поверхность допускает только тривиальное (то есть сводящееся к движению поверхности в пространстве как твердого тела) изгибание, то она называется неизгибаемой. Если для данной поверхности $S$ любая изометричная ей поверхность получается из $S$ движением с возможным добавлением зеркального отражения, то говорят, что $S$ однозначно определяется своей метрикой. Если поверхность $S^{*}$, изометричная $S$, получается из $S$ в процессе нек-рого ее изгибания, то говорят, что $S$ наложима на $S^{*}$. Если поверхность $S$ рассматривается как изометрич. погружение в пространство нек-рого риманова многообразия, то вопрос об однозначной определенности $S$ сводится к вопросу о единственности решения нек-рой системы дифференциальных уравнений, а вопрос об изгибаемости $S-$ к существованию для этой системы непрерывного семейства решений, включающего $S$. Пример нетривиального изгибания - процесс сворачивания листа бумаги «в трубочку», без разрывов и растяжения материалов. Начальное поле скоростей гладкого (относительно нек-рого параметра $t$, принимаемого за время) И. п. порождает деформацию, называемую бесконечно малым изгибанием. При нетривиальных (то есть не являющихся начальным полем скоростей нек-рого движения) бесконечно малых И. п. расстояния на поверхности изменяются на порядок $o(t), t \rightarrow 0$, в то время как пространственные расстояния между точками поверхности изменяются, вообще говоря, на порядок $O(t)$. Поверхность, не допускающая нетривиальных бесконечно малых изгибаний, называется жесткой, в противном случае - нежесткой. Существование и свойства изгибаний и бесконечно малых И. п. существенно зависят от топологич. типа поверхности, от знака ее кривизны, от степени гладкости поверхности ее деформаций и т. д. Наиболее подробно эти вопросы изучены для поверхностей положительной кривизны в $\mathbb{R}^{3}$. Напр., доказано, что замкнутая выпуклая поверхность является неизгибаемой и жесткой. Примеров замкнутых изгибаемых поверхностей (в классе гладкости $C^{n}, n \geqslant 2$ ) пока неизвестно (1997), хотя замкнутые нежесткие поверхности существуют даже в аналитич. классе гладкости. Изгибания и, особенно, бесконечно малые изгибания, тесно связаны с теорией упругих оболочек, так как при упругих деформациях растяжения в материале малы по сравнению с возможными изменениями внешней формы оболочки. Геометрич. жесткость или неизгибаемость поверхности означает устойчивость состояния равновесия оболочки в нек-ром диапазоне внутренних напряжений.