ИЗОМОНОДРОМНОЙ ДЕФОРМАЦИИ МЕТОД

метод интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих деформации некоторой линейной системы дифференциальных уравнений с рациональными коэффициентами. Параметрами деформации служат особые точки линейной системы, выступающие как независимые переменные нелинейных уравнений на остальные коэффициенты системы. Указанные нелинейные уравнения возникают как необходимые и достаточные условия постоянства монодромии группы линейной системы по всем параметрам деформации. Впервые концепция И. д. м. возникла в работе Л. Шлезингера [1], где рассматривалась линейная система фуксова типа \[ \left.\begin{array}{l} \frac{d \Psi}{d \lambda}=A(\lambda) \Psi, \quad \lambda \in C, \\ A(\lambda)=\sum_{v=1}^{n} \frac{A_{v}}{\lambda-a_{v}}, \end{array}\right\} \] где $(m \times m)$-матрицы $A_{v}$, и все особые точки $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \in C$ постоянны по $\lambda$. Группа монодромии системы (1) имеет образующие $M_{v}$, соответствующие обходу по петле вокруг точек $a_{v}$ : \[ \left(\lambda-a_{v}\right) \mapsto\left(\lambda-a_{v}\right) e^{2 \pi i} \Rightarrow \Psi \mapsto \Psi M_{v} . \] Условие независимости матриц монодромии $M_{\mathrm{v}}$ от параметров деформации, $\partial_{a_{\mu}} M_{v}=0, \mu, v=1,2, \ldots, n$, эквивалентно системе нелинейных уравнений на коэффициенты (1) (система Шлезингера) \[ \left.\begin{array}{l} \frac{\partial A_{v}}{\partial a_{\mu}}=\frac{\left[A_{v}, A_{\mu}\right]}{a_{v}-a_{\mu}}, \quad \mu \neq v, \\ \frac{\partial A_{v}}{\partial a_{\mu}}=-\sum_{\mu \neq v} \frac{\left[A_{v}, A_{\mu}\right]}{a_{v}-a_{\mu}} . \end{array}\right\} \] Здесь матрицы монодромии $M_{v}$ как функции от переменных $A_{\mu}$ являются законами сохранения системы (2). С современной точки зрения система (2) является вполне интегрируемой, поскольку она представима как условие совместности линейной системы \[ \frac{d \Psi}{d a_{v}}=-\frac{A_{v}}{\lambda-a_{v}} \Psi, \quad v=1,2, \ldots, n, \] и системы (1). Наличие дополнительной системы (3) на величины $A_{v}$ влечет, в свою очередь, постоянство группы монодромии по параметрам деформации. Вычисление группы монодромии по начальным или граничным значениям решений нелинейного уравнения составляет прямую задачу теории монодромии. Напротив, в обратной задаче теории монодромии требуется найти коэффициенты линейной системы (1), то есть решение нелинейного уравнения, по заданной группе монодромии (см. Монодромии теории обратные задачи). В рамках обратной задачи теории монодромии удается установить существование, единственность и асимптотич. свойства решений нелинейных уравнений, интегрируемых с помощью И. д. м. Важными примерами таких уравнений являются шесть обыкновенных дифференциальных Пенлеве уравнений (см. [2]), обозначаемых PI-PVI. Все они представляются в виде условий совместности системы по $x$ и системы (1) по $\lambda$ при $m=2$, где матрица $A(\lambda)$ содержит дополнительные полюсы порядка выше первого в нуле (PIII) или на бесконечности (PI, PII, PIV) (см. [3]). Для таких систем подробно исследована обратная задача теории монодромии, с помощью к-рой найдены формулы распределения полюсов и нулей, а также асимптотики общих решений уравнений Пенлеве в окрестности особых точек и явные формулы связи параметров этих асимптотик (см. [4]). Другие нелинейные эволюционные уравнения типа Кортевега - де Фриса, представимые в виде уравнения нулевой кривизны \[ U_{t}-V_{x}+[U, V]=0 \] и интегрируемые методом обратной задачи, имеют классы так наз. изомонодромных решений. Это те решения, к-рые помимо стандартной $U$-, $V$-пары: \[ \Psi_{x}=U(x, t, \lambda) \Psi, \Psi_{t}=V(x, t, \lambda) \Psi \] обеспечивают условия совместности с дополнительным третьим уравнением по $\lambda$ : \[ \Psi_{\lambda}=A(x, t, \lambda) \Psi, \] где матрица $A$ является рациональной по $\lambda$. В этот класс попадают, в частности, солитонные, конечнозонные и нек-рые автомодельные решения указанных уравнений (см. [5]). Лит.: [1] Schlesinger L., «J. reine u. angew. Math.», 1912, Bd 141, S. 96-145; [2] Айнс Э.Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., Харьков, 1939; [3] Сато М., Дзимбо М., Мива Т., Голономные квантовые поля, пер. с англ., М., 1983; [4] Its A. R., Novokshenov V. Yu., Isomonodromic deformation method in the theory of Painleve equations, «Lecture Notes in Math.», v. 1191, В.- N.Y., 1986; [5] Итс А. Р., «Изв. АН СССР», 1985, т. 49, № 3, с. 530-65. В. Ю. Новокшенов.

метод интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих деформации некоторой линейной системы дифференциальных уравнений с рациональными коэффициентами. Параметрами деформации служат особые точки линейной системы, выступающие как независимые переменные нелинейных уравнений на остальные коэффициенты системы. Указанные нелинейные уравнения возникают как необходимые и достаточные условия постоянства монодромии группы линейной системы по всем параметрам деформации. Впервые концепция И. д. м. возникла в работе Л. Шлезингера [1], где рассматривалась линейная система фуксова типа \[ \left.\begin{array}{l} \frac{d \Psi}{d \lambda}=A(\lambda) \Psi, \quad \lambda \in C, \\ A(\lambda)=\sum_{v=1}^{n} \frac{A_{v}}{\lambda-a_{v}}, \end{array}\right\} \] где $(m \times m)$-матрицы $A_{v}$, и все особые точки $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \in C$ постоянны по $\lambda$. Группа монодромии системы (1) имеет образующие $M_{v}$, соответствующие обходу по петле вокруг точек $a_{v}$ : \[ \left(\lambda-a_{v}\right) \mapsto\left(\lambda-a_{v}\right) e^{2 \pi i} \Rightarrow \Psi \mapsto \Psi M_{v} . \] Условие независимости матриц монодромии $M_{\mathrm{v}}$ от параметров деформации, $\partial_{a_{\mu}} M_{v}=0, \mu, v=1,2, \ldots, n$, эквивалентно системе нелинейных уравнений на коэффициенты (1) (система Шлезингера) \[ \left.\begin{array}{l} \frac{\partial A_{v}}{\partial a_{\mu}}=\frac{\left[A_{v}, A_{\mu}\right]}{a_{v}-a_{\mu}}, \quad \mu \neq v, \\ \frac{\partial A_{v}}{\partial a_{\mu}}=-\sum_{\mu \neq v} \frac{\left[A_{v}, A_{\mu}\right]}{a_{v}-a_{\mu}} . \end{array}\right\} \] Здесь матрицы монодромии $M_{v}$ как функции от переменных $A_{\mu}$ являются законами сохранения системы (2). С современной точки зрения система (2) является вполне интегрируемой, поскольку она представима как условие совместности линейной системы \[ \frac{d \Psi}{d a_{v}}=-\frac{A_{v}}{\lambda-a_{v}} \Psi, \quad v=1,2, \ldots, n, \] и системы (1). Наличие дополнительной системы (3) на величины $A_{v}$ влечет, в свою очередь, постоянство группы монодромии по параметрам деформации. Вычисление группы монодромии по начальным или граничным значениям решений нелинейного уравнения составляет прямую задачу теории монодромии. Напротив, в обратной задаче теории монодромии требуется найти коэффициенты линейной системы (1), то есть решение нелинейного уравнения, по заданной группе монодромии (см. Монодромии теории обратные задачи). В рамках обратной задачи теории монодромии удается установить существование, единственность и асимптотич. свойства решений нелинейных уравнений, интегрируемых с помощью И. д. м. Важными примерами таких уравнений являются шесть обыкновенных дифференциальных Пенлеве уравнений (см. [2]), обозначаемых PI-PVI. Все они представляются в виде условий совместности системы по $x$ и системы (1) по $\lambda$ при $m=2$, где матрица $A(\lambda)$ содержит дополнительные полюсы порядка выше первого в нуле (PIII) или на бесконечности (PI, PII, PIV) (см. [3]). Для таких систем подробно исследована обратная задача теории монодромии, с помощью к-рой найдены формулы распределения полюсов и нулей, а также асимптотики общих решений уравнений Пенлеве в окрестности особых точек и явные формулы связи параметров этих асимптотик (см. [4]). Другие нелинейные эволюционные уравнения типа Кортевега - де Фриса, представимые в виде уравнения нулевой кривизны \[ U_{t}-V_{x}+[U, V]=0 \] и интегрируемые методом обратной задачи, имеют классы так наз. изомонодромных решений. Это те решения, к-рые помимо стандартной $U$-, $V$-пары: \[ \Psi_{x}=U(x, t, \lambda) \Psi, \Psi_{t}=V(x, t, \lambda) \Psi \] обеспечивают условия совместности с дополнительным третьим уравнением по $\lambda$ : \[ \Psi_{\lambda}=A(x, t, \lambda) \Psi, \] где матрица $A$ является рациональной по $\lambda$. В этот класс попадают, в частности, солитонные, конечнозонные и нек-рые автомодельные решения указанных уравнений (см. [5]). Лит.: [1] Schlesinger L., «J. reine u. angew. Math.», 1912, Bd 141, S. 96-145; [2] Айнс Э.Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., Харьков, 1939; [3] Сато М., Дзимбо М., Мива Т., Голономные квантовые поля, пер. с англ., М., 1983; [4] Its A. R., Novokshenov V. Yu., Isomonodromic deformation method in the theory of Painleve equations, «Lecture Notes in Math.», v. 1191, В.- N.Y., 1986; [5] Итс А. Р., «Изв. АН СССР», 1985, т. 49, № 3, с. 530-65. В. Ю. Новокшенов.