ИЗОМОРФИЗМ

одно из основных понятий современной математики, возникшее сначала в пределах алгебры в применении к таким алгебраическим образованиям, как группы, кольца, поля и т.п., но оказавшееся весьма существенным для общего понимания строения и области всевозможных применений каждого раздела математики. Понятие И. относится к системам объектов с заданными в них операциями или отношениями. В качестве простого примера двух изоморфных систем можно рассмотреть систему $\mathbb{R}$ всех действительных чисел с заданной на ней операцией сложения $x=x_{1}+x_{2}$ и систему $\mathbb{R}_{+}$положительных действительных чисел с заданной на ней операцией умножения $y=y_{1} y_{2}$. Можно показать, что внутреннее «устройство» этих двух систем чисел совершенно одинаково. Для этого достаточно систему $\mathbb{R}$ отобразить в систему $\mathbb{R}_{+}$, поставив в соответствие числу $x$ из $\mathbb{R}$ число $y=a^{x}, a>1$, из $\mathbb{R}_{+}$. Тогда сумме $x=x_{1}+x_{2}$ будет соответствовать произведение $y=y_{1} y_{2}$ чисел $y_{1}=a^{x_{1}}$ и $y_{2}=a^{x_{2}}$, соответствующих $x_{1}$ и $x_{2}$. Обратное отображение $\mathbb{R}_{+}$на $\mathbb{R}$ имеет при этом вид $x=\log _{a} y$. Из любого предложения, относящегося к сложению чисел системы $\mathbb{R}$, можно извлечь соответствующее ему предложение, относящееся к умножению чисел системы $\mathbb{R}_{+}$. Напр., если в $\mathbb{R}$ сумма \[ s_{n}=x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n} \] членов арифметич. прогрессии выражается формулой \[ s_{n}=\frac{n\left(x_{1}+x_{n}\right)}{2} \] то в $\mathbb{R}_{+}$произведение \[ p_{n}=y_{1} y_{2} \ldots y_{n} \] членов геометрич. прогрессии выражается формулой \[ p_{n}=\sqrt{\left(y_{1} y_{n}\right)^{n}} \] (умножению на $n$ в системе $\mathbb{R}$ соответствует при переходе к системе $\mathbb{R}_{+}$возведение в $n$-ю степень, а делению на два извлечение квадратного корня). Изучение свойств одной из изоморфных систем в значительной мере (а с абстрактно-математич. точки зрения полностью) сводится к изучению свойств другой. Любую систему объектов $S^{\prime}$, изоморфную системе $S$, можно рассматривать как «модель» системы $S$ («моделировать систему $S$ при помощи системы $\left.S^{\prime} »\right)$ и сводить изучение самых разнообразных свойств системы $S$ к изучению свойств «модели» $S^{\prime}$. Общее определение И. систем объектов с заданными на них отношениями между постоянным для каждого отношения числом объектов таково. Пусть даны две системы объектов $S$ и $S^{\prime}$, причем в первой определены отношения \[ F_{k}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right), k=1,2, \ldots, n \text {, } \] а во второй - отношения \[ F_{k}^{\prime}\left(x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots\right), k=1,2, \ldots, n . \] Системы $S$ и $S^{\prime}$ с указанными на них отношениями называются изоморфными (обозначение $S \cong S^{\prime}$ ), если между ними существует такое взаимно однозначное соответствие \[ x^{\prime}=\varphi(x), x=\psi\left(x^{\prime}\right) \] (где $x$ - произвольный элемент $S$, а $x^{\prime}-$ произвольный элемент $\left.S^{\prime}\right)$, что из наличия $F_{k}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right)$ вытекает $F_{k}^{\prime}\left(x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots\right)$, и наоборот. Отображение $\varphi$ называется изоморфным отображением, или изоморфизмом, системы $S$ в $S^{\prime}$, а обратное ему отображение $\psi-$ изоморфизмом системы $S^{\prime}$ в $S$. [В приведенном выше примере в системе $\mathbb{R}$ определено отношение $F\left(x, x_{1}, x_{2}\right)$, где $x=x_{1}+x_{2}$, в системе $\mathbb{R}_{+}-$отношение $F^{\prime}\left(y, y_{1}, y_{2}\right)$, где $y=y_{1} y_{2}$; взаимно однозначное соответствие устанавливается по формулам $y=a^{x}, x=\log _{a} y$.] Понятие И. возникло в теории групп, где впервые был понят тот факт, что изучение внутренней структуры двух изоморфных систем объектов представляет собой одну и ту же задачу. Существование этого свойства подметил Р. Декарт (R. Descartes), он предвидел возможность «отождествлять» изоморфные отношения или операции (он называл их «подобными»). Термин «И.» был введен в сер. 19 в. Аксиомы любой математич. теории определяют систему объектов, изучаемую этой теорией, всегда только с точностью до И.: аксиоматически построенная математич. теория, применимая к к.-л. одной системе объектов, всегда полностью применима к другой, изоморфной ей. Поэтому каждая аксиоматически изложенная математич. теория допускает не одну, а много «интерпретаций», или «моделей». Частным случаем И. является автоморфизм - взаимно однозначное отображение \[ x^{\prime}=\varphi(x), x=\psi\left(x^{\prime}\right) \] системы объектов с заданными отношениями $F_{k}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right)$ на самое себя, при к-ром из $F_{k}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right)$ вытекает $F_{k}^{\prime}\left(x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots\right)$, и наоборот. Это понятие тоже возникло в теории групп, но потом оказалось существенным в самых различных разделах математики. В. И. Битюцков, А. Н. Колмогоров. Изоморфизм динамических систем метрический - свойство двух динамических систем переходить друг в друга при подходящем отображении фазового пространства одной из них на фазовое пространство другой. Динамич. система $\left\{T^{t}\right\}$ (с дискретным или непрерывным временем), действующая в пространстве с мерой $(\Omega, \mathscr{F}, P)$, изоморфна динамич. системе $\left\{T_{1}^{t}\right\}$, действующей в пространстве с мерой $\left(\Omega_{1}, \mathscr{F}_{1}, \mathrm{P}_{1}\right)$, если существует такое измеримое отображение $\varphi: \Omega \rightarrow \Omega_{1}$, что 1) $\varphi \Omega=\Omega_{1}$ 2) $\varphi$ обратимо, и обратное отображение $\varphi^{-1}$ измеримо; 3) $\varphi$ переводит меру $\mathrm{P}$ в меру $\mathrm{P}_{1}$, то есть $\mathrm{P}\left(\varphi^{-1} F_{1}\right)=$ $=\mathrm{P}_{1}\left(F_{1}\right)$ для любого $F_{1} \subset \mathscr{F}_{1}$; 4) $\varphi$ переводит $\left\{T^{t}\right\}$ в $\left\{T_{1}^{t}\right\}$, то есть $\varphi T^{t} \omega=T_{1}^{t} \varphi \omega$ при всех $t$ и Р-почти всех $\omega \in \Omega$ (исключительное множество меры нуль может зависеть от $t$ ). Обычно не делают различия между И. и И. по $\bmod 0$, определение к-рого отличается от приведенного тем, что пространства $\Omega, \Omega_{1}$ заменяются в нем на любые множества полной меры, соответственно $\left\{T^{t}\right\}-$ и $\left\{T_{1}^{t}\right\}$-инвариантные. При выполнении условий 1), 3), 4) динамич. система $\left\{T_{1}^{t}\right\}$ называется гомоморфным образом (или факторсистемой) динамич. системы $\left\{T^{t}\right\}$. Две системы, каждая из к-рых является гомоморфным образом другой, называются слабо изоморфными (см. [1]). Если $(\Omega, \mathscr{F}, \mathrm{P})$ - вероятностное пространство и $X$ - любая определенная на нем случайная величина, то сдвиги в пространстве реализаций случайного процесса $X_{t}$, где $X_{t}(\omega)=X\left(T^{t} \omega\right), \omega \in \Omega$, образуют динамич. систему $\left\{T_{1}^{t}\right\}$, являющуюся гомоморфным образом системы $\left\{T^{t}\right\}$. Эти системы изоморфны в том или только в том случае, когда $\sigma$-алгебра, порожденная всеми $X_{t}$, совпадает с $\mathscr{F}$ (с точностью до множества меры нуль). Такого совпадения, как правило, можно добиться уже в классе случайных величин $X$ со счетным, а в нек-рых случая даже с конечным числом значений (см. [2]-[4]). Если система $\left\{T^{t}\right\}$ сама порождена сдвигами в пространстве выборочных функций нек-рого стационарного в узком смысле случайного процесса $Y_{t}$, то отображение, переводящее $\left\{T^{t}\right\}$ в $\left\{T_{1}^{t}\right\}$, можно рассматривать как согласованное со сдвигом (стационарное) кодирование реализаций процесса $Y_{t}$ реализациями процесса $X_{t}$. Если при этом почти наверное возможно однозначное декодирование, то имеет место И. При переходе к гомоморфному образу динамич. системы сохраняются такие ее свойства, как эргодичность, перемешивание, кратное перемешивание и $K$-перемешивание, а энтропия не увеличивается; гомоморфный образ любого Бернулли сдвига изоморфен нек-рому сдвигу Бернулли (см. [5], [8]). Свойства динамич. системы и порождаемые ею объекты (такие, напр., как энтропия и спектр), к-рые совпадают у изоморфных систем, называются метрическими инвариантами. Проблема И. динамич. систем заключается в том, чтобы найти для того или иного класса систем полный и достаточно обозримый набор инвариантов. Для динамич. систем с дискретным спектром такой набор состоит из одного спектра (см. [6]), для сдвигов Бернулли из энтропии (см. [7], [8]); известны полные наборы инвариантов и для нек-рых других классов динамич. систем (см. [8]-[10]).

одно из основных понятий современной математики, возникшее сначала в пределах алгебры в применении к таким алгебраическим образованиям, как группы, кольца, поля и т.п., но оказавшееся весьма существенным для общего понимания строения и области всевозможных применений каждого раздела математики. Понятие И. относится к системам объектов с заданными в них операциями или отношениями. В качестве простого примера двух изоморфных систем можно рассмотреть систему $\mathbb{R}$ всех действительных чисел с заданной на ней операцией сложения $x=x_{1}+x_{2}$ и систему $\mathbb{R}_{+}$положительных действительных чисел с заданной на ней операцией умножения $y=y_{1} y_{2}$. Можно показать, что внутреннее «устройство» этих двух систем чисел совершенно одинаково. Для этого достаточно систему $\mathbb{R}$ отобразить в систему $\mathbb{R}_{+}$, поставив в соответствие числу $x$ из $\mathbb{R}$ число $y=a^{x}, a>1$, из $\mathbb{R}_{+}$. Тогда сумме $x=x_{1}+x_{2}$ будет соответствовать произведение $y=y_{1} y_{2}$ чисел $y_{1}=a^{x_{1}}$ и $y_{2}=a^{x_{2}}$, соответствующих $x_{1}$ и $x_{2}$. Обратное отображение $\mathbb{R}_{+}$на $\mathbb{R}$ имеет при этом вид $x=\log _{a} y$. Из любого предложения, относящегося к сложению чисел системы $\mathbb{R}$, можно извлечь соответствующее ему предложение, относящееся к умножению чисел системы $\mathbb{R}_{+}$. Напр., если в $\mathbb{R}$ сумма \[ s_{n}=x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n} \] членов арифметич. прогрессии выражается формулой \[ s_{n}=\frac{n\left(x_{1}+x_{n}\right)}{2} \] то в $\mathbb{R}_{+}$произведение \[ p_{n}=y_{1} y_{2} \ldots y_{n} \] членов геометрич. прогрессии выражается формулой \[ p_{n}=\sqrt{\left(y_{1} y_{n}\right)^{n}} \] (умножению на $n$ в системе $\mathbb{R}$ соответствует при переходе к системе $\mathbb{R}_{+}$возведение в $n$-ю степень, а делению на два извлечение квадратного корня). Изучение свойств одной из изоморфных систем в значительной мере (а с абстрактно-математич. точки зрения полностью) сводится к изучению свойств другой. Любую систему объектов $S^{\prime}$, изоморфную системе $S$, можно рассматривать как «модель» системы $S$ («моделировать систему $S$ при помощи системы $\left.S^{\prime} »\right)$ и сводить изучение самых разнообразных свойств системы $S$ к изучению свойств «модели» $S^{\prime}$. Общее определение И. систем объектов с заданными на них отношениями между постоянным для каждого отношения числом объектов таково. Пусть даны две системы объектов $S$ и $S^{\prime}$, причем в первой определены отношения \[ F_{k}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right), k=1,2, \ldots, n \text {, } \] а во второй - отношения \[ F_{k}^{\prime}\left(x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots\right), k=1,2, \ldots, n . \] Системы $S$ и $S^{\prime}$ с указанными на них отношениями называются изоморфными (обозначение $S \cong S^{\prime}$ ), если между ними существует такое взаимно однозначное соответствие \[ x^{\prime}=\varphi(x), x=\psi\left(x^{\prime}\right) \] (где $x$ - произвольный элемент $S$, а $x^{\prime}-$ произвольный элемент $\left.S^{\prime}\right)$, что из наличия $F_{k}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right)$ вытекает $F_{k}^{\prime}\left(x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots\right)$, и наоборот. Отображение $\varphi$ называется изоморфным отображением, или изоморфизмом, системы $S$ в $S^{\prime}$, а обратное ему отображение $\psi-$ изоморфизмом системы $S^{\prime}$ в $S$. [В приведенном выше примере в системе $\mathbb{R}$ определено отношение $F\left(x, x_{1}, x_{2}\right)$, где $x=x_{1}+x_{2}$, в системе $\mathbb{R}_{+}-$отношение $F^{\prime}\left(y, y_{1}, y_{2}\right)$, где $y=y_{1} y_{2}$; взаимно однозначное соответствие устанавливается по формулам $y=a^{x}, x=\log _{a} y$.] Понятие И. возникло в теории групп, где впервые был понят тот факт, что изучение внутренней структуры двух изоморфных систем объектов представляет собой одну и ту же задачу. Существование этого свойства подметил Р. Декарт (R. Descartes), он предвидел возможность «отождествлять» изоморфные отношения или операции (он называл их «подобными»). Термин «И.» был введен в сер. 19 в. Аксиомы любой математич. теории определяют систему объектов, изучаемую этой теорией, всегда только с точностью до И.: аксиоматически построенная математич. теория, применимая к к.-л. одной системе объектов, всегда полностью применима к другой, изоморфной ей. Поэтому каждая аксиоматически изложенная математич. теория допускает не одну, а много «интерпретаций», или «моделей». Частным случаем И. является автоморфизм - взаимно однозначное отображение \[ x^{\prime}=\varphi(x), x=\psi\left(x^{\prime}\right) \] системы объектов с заданными отношениями $F_{k}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right)$ на самое себя, при к-ром из $F_{k}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right)$ вытекает $F_{k}^{\prime}\left(x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots\right)$, и наоборот. Это понятие тоже возникло в теории групп, но потом оказалось существенным в самых различных разделах математики. В. И. Битюцков, А. Н. Колмогоров. Изоморфизм динамических систем метрический - свойство двух динамических систем переходить друг в друга при подходящем отображении фазового пространства одной из них на фазовое пространство другой. Динамич. система $\left\{T^{t}\right\}$ (с дискретным или непрерывным временем), действующая в пространстве с мерой $(\Omega, \mathscr{F}, P)$, изоморфна динамич. системе $\left\{T_{1}^{t}\right\}$, действующей в пространстве с мерой $\left(\Omega_{1}, \mathscr{F}_{1}, \mathrm{P}_{1}\right)$, если существует такое измеримое отображение $\varphi: \Omega \rightarrow \Omega_{1}$, что 1) $\varphi \Omega=\Omega_{1}$ 2) $\varphi$ обратимо, и обратное отображение $\varphi^{-1}$ измеримо; 3) $\varphi$ переводит меру $\mathrm{P}$ в меру $\mathrm{P}_{1}$, то есть $\mathrm{P}\left(\varphi^{-1} F_{1}\right)=$ $=\mathrm{P}_{1}\left(F_{1}\right)$ для любого $F_{1} \subset \mathscr{F}_{1}$; 4) $\varphi$ переводит $\left\{T^{t}\right\}$ в $\left\{T_{1}^{t}\right\}$, то есть $\varphi T^{t} \omega=T_{1}^{t} \varphi \omega$ при всех $t$ и Р-почти всех $\omega \in \Omega$ (исключительное множество меры нуль может зависеть от $t$ ). Обычно не делают различия между И. и И. по $\bmod 0$, определение к-рого отличается от приведенного тем, что пространства $\Omega, \Omega_{1}$ заменяются в нем на любые множества полной меры, соответственно $\left\{T^{t}\right\}-$ и $\left\{T_{1}^{t}\right\}$-инвариантные. При выполнении условий 1), 3), 4) динамич. система $\left\{T_{1}^{t}\right\}$ называется гомоморфным образом (или факторсистемой) динамич. системы $\left\{T^{t}\right\}$. Две системы, каждая из к-рых является гомоморфным образом другой, называются слабо изоморфными (см. [1]). Если $(\Omega, \mathscr{F}, \mathrm{P})$ - вероятностное пространство и $X$ - любая определенная на нем случайная величина, то сдвиги в пространстве реализаций случайного процесса $X_{t}$, где $X_{t}(\omega)=X\left(T^{t} \omega\right), \omega \in \Omega$, образуют динамич. систему $\left\{T_{1}^{t}\right\}$, являющуюся гомоморфным образом системы $\left\{T^{t}\right\}$. Эти системы изоморфны в том или только в том случае, когда $\sigma$-алгебра, порожденная всеми $X_{t}$, совпадает с $\mathscr{F}$ (с точностью до множества меры нуль). Такого совпадения, как правило, можно добиться уже в классе случайных величин $X$ со счетным, а в нек-рых случая даже с конечным числом значений (см. [2]-[4]). Если система $\left\{T^{t}\right\}$ сама порождена сдвигами в пространстве выборочных функций нек-рого стационарного в узком смысле случайного процесса $Y_{t}$, то отображение, переводящее $\left\{T^{t}\right\}$ в $\left\{T_{1}^{t}\right\}$, можно рассматривать как согласованное со сдвигом (стационарное) кодирование реализаций процесса $Y_{t}$ реализациями процесса $X_{t}$. Если при этом почти наверное возможно однозначное декодирование, то имеет место И. При переходе к гомоморфному образу динамич. системы сохраняются такие ее свойства, как эргодичность, перемешивание, кратное перемешивание и $K$-перемешивание, а энтропия не увеличивается; гомоморфный образ любого Бернулли сдвига изоморфен нек-рому сдвигу Бернулли (см. [5], [8]). Свойства динамич. системы и порождаемые ею объекты (такие, напр., как энтропия и спектр), к-рые совпадают у изоморфных систем, называются метрическими инвариантами. Проблема И. динамич. систем заключается в том, чтобы найти для того или иного класса систем полный и достаточно обозримый набор инвариантов. Для динамич. систем с дискретным спектром такой набор состоит из одного спектра (см. [6]), для сдвигов Бернулли из энтропии (см. [7], [8]); известны полные наборы инвариантов и для нек-рых других классов динамич. систем (см. [8]-[10]).