Абелев дифференциал

голоморфный или мероморфный дифференциал на компактной, или замкнутой, римановой поверхности S(см. Дифференциал на римановой поверхности). Пусть g - род поверхности S; а1b1 а 2b2...agbg циклы канонич. базиса гомологии S. В зависимости от характера особенностей различают А. д. трех родов: I, II и III, причем имеют место строгие включения: [img: http://localhost:8080/file/010101-1.jpg] А. имеют вид [img: http://localhost:8080/file/010101-3.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010101-4.jpg] - локальная униформизирующая переменная в U, [img: http://localhost:8080/file/010101-5.jpg] - голоморфная, или регулярная, аналитич. функция от z в U. Сложение А. д. и умножение на голоморфную функцию определяются естественными правилами: если [img: http://localhost:8080/file/010101-6.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010101-7.jpg] А. д. I рода образуют векторное пространство [img: http://localhost:8080/file/010101-8.jpg] размерности g. После введения скалярного произведения [img: http://localhost:8080/file/010101-9.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010101-10.jpg] - внешнее произведениеw на звездно сопряженный дифференциал [img: http://localhost:8080/file/010101-11.jpg] пространство [img: http://localhost:8080/file/010101-12.jpg] превращается в гильбертово пространство. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010101-13.jpg] суть А- и B-периоды А. д. 1 рода [img: http://localhost:8080/file/010101-14.jpg], т. е. интегралы [img: http://localhost:8080/file/010101-15.jpg] Тогда имеет место соотношение: [img: http://localhost:8080/file/010101-16.jpg] Если А'1,B'1,А'2,B'2,...,А'g,B'g, - периоды другого А. д. I рода p, то [img: http://localhost:8080/file/010101-17.jpg] Соотношения (1) и (2) наз. билинейными соотношениями Римана для А. д. I рода. Канонич. базис А. д. I рода, т. е. канонич. базис j1 [img: http://localhost:8080/file/010101-18.jpg] пространства [img: http://localhost:8080/file/010101-19.jpg] выбирается таким образом, что [img: http://localhost:8080/file/010101-20.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010101-21.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010101-22.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010101-23.jpg] При этом матрица (Bi j) i, j=1,2,...,gn B-периодов [img: http://localhost:8080/file/010101-24.jpg] симметрическая, а матрица мнимых частей [img: http://localhost:8080/file/010101-25.jpg] положительно определенная. А. д. I рода, у к-рого все A-периоды или все B-периоды равны нулю, тождественно равен нулю. Если все периоды А. д. I рода [img: http://localhost:8080/file/010101-26.jpg] действительны, то [img: http://localhost:8080/file/010101-27.jpg] А. д. II и III рода относятся, вообще говоря, к мероморфным дифференциалам, т. е. к таким аналитич. дифференциалам, к-рые имеют на Sне более чем конечное множество особенностей типа полюсов с локальным представлением [img: http://localhost:8080/file/010101-28.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010101-29.jpg] - регулярная функция, п - порядок полюса (если [img: http://localhost:8080/file/010101-30.jpg]), [img: http://localhost:8080/file/010101-31.jpg] - вычет в данном полюсе. При [img: http://localhost:8080/file/010101-32.jpg] полюс наз. простым. А. д. II рода - это мероморфные дифференциалы, у к-рых все вычеты равны нулю, т. е. мероморфные дифференциалы с локальным представлением [img: http://localhost:8080/file/010101-33.jpg] А. д. III рода - это А. д. произвольного вида. Если [img: http://localhost:8080/file/010101-34.jpg] - произвольный А. д. с A-периодами А 1, А 2,..., Ag, то А. д. [img: http://localhost:8080/file/010101-35.jpg] имеет нулевые А-периоды и наз. нормированным А. д. В частности, если [img: http://localhost:8080/file/010101-36.jpg] - любые различные точки S, то можно построить нормированный А. д. [img: http://localhost:8080/file/010101-37.jpg] с особенностями [img: http://localhost:8080/file/010101-38.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010101-39.jpg] к-рый наз. нормальным А. д. III рода. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010101-40.jpg] - произвольный А. д. с вычетами [img: http://localhost:8080/file/010101-41.jpg] в точках [img: http://localhost:8080/file/010101-42.jpg] соответственно, при этом всегда [img: http://localhost:8080/file/010101-43.jpg] Если Р 0 - произвольная точка на Sтакая, что [img: http://localhost:8080/file/010101-44.jpg] можно представить в виде линейной комбинации нормированного А. д. II рода [img: http://localhost:8080/file/010101-45.jpg] конечного числа нормальных А. д. III рода [img: http://localhost:8080/file/010101-46.jpg] и базисных А. д. I рода [img: http://localhost:8080/file/010101-47.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010101-48.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/010101-49.jpg] - А. д. III рода, имеющий только простые полюсы с вычетами в точках - произвольный А. д. [img: http://localhost:8080/file/010101-50.jpg] I рода; [img: http://localhost:8080/file/010101-51.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010101-52.jpg] причем циклы [img: http://localhost:8080/file/010101-53.jpg] не проходят через полюсы [img: http://localhost:8080/file/010101-54.jpg] Пусть точка [img: http://localhost:8080/file/010101-55.jpg] не лежит на циклах [img: http://localhost:8080/file/010101-56.jpg] есть путь от P0 к Pj. Тогда имеем билинейные соотношения для А. д. I и III рода: [img: http://localhost:8080/file/010101-57.jpg] Между А. д. I и II рода также имеются билинейные соотношения аналогичного вида. Произвольный А. д. III рода, кроме А- и 5-перио-дов [img: http://localhost:8080/file/010101-58.jpg] наз. циклическими периодами, имеет еще полярные периоды вида [img: http://localhost:8080/file/010101-59.jpg] вдоль циклов, гомологичных нулю, но охватывающих полюсы [img: http://localhost:8080/file/010101-60.jpg] Таким образом, для произвольного цикла [img: http://localhost:8080/file/010101-61.jpg] имеем: [img: http://localhost:8080/file/010101-62.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010101-63.jpg] - целые числа. Важные свойства А. д. описываются в терминах дивизоров. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010101-64.jpg] - дивизор А. д. [img: http://localhost:8080/file/010101-65.jpg] т. е. выражение вида [img: http://localhost:8080/file/010101-66.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010101-67.jpg] - все нули и полюсы [img: http://localhost:8080/file/010101-68.jpg] - их кратности, или порядки. Степень дивизора [img: http://localhost:8080/file/010101-69.jpg] для А. д. [img: http://localhost:8080/file/010101-70.jpg] зависит только от рода S, а именно всегда [img: http://localhost:8080/file/010101-71.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/010101-72.jpg] - нек-рый произвольно заданный дивизор. Обозначим через [img: http://localhost:8080/file/010101-73.jpg] комплексное векторное пространство А. д. [img: http://localhost:8080/file/010101-74.jpg] дивизоры к-рых [img: http://localhost:8080/file/010101-75.jpg] кратны а; [img: http://localhost:8080/file/010101-76.jpg] - векторное пространство мероморфных функций f на S, дивизоры к-рых [img: http://localhost:8080/file/010101-77.jpg] кратны [img: http://localhost:8080/file/010101-78.jpg] Тогда размерность [img: http://localhost:8080/file/010101-79.jpg]. Другая важная информация о размерности этих пространств содержится в теореме Римана- Роха: для любого дивизора [img: http://localhost:8080/file/010101-80.jpg] имеем равенство: [img: http://localhost:8080/file/010101-81.jpg] Отсюда следует, напр., что при [img: http://localhost:8080/file/010101-82.jpg] т. е. на поверхности тора, мероморфная функция не может иметь единственный простой полюс. Пусть S - произвольная компактная риманова поверхность, на к-рой z и w - мероморфные функции, удовлетворяющие неприводимому алгебраич. уравнению [img: http://localhost:8080/file/010101-83.jpg] Произвольный А. д. [img: http://localhost:8080/file/010101-84.jpg] на S можно выразить тогда в виде [img: http://localhost:8080/file/010101-85.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010101-86.jpg] - нек-рая рациональная функция от [img: http://localhost:8080/file/010101-87.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010101-88.jpg], и обратно: выражение [img: http://localhost:8080/file/010101-89.jpg] есть А. д. Таким образом, произвольный абелев интеграл [img: http://localhost:8080/file/010101-90.jpg] является интегралом от нек-рого А. д. на компактной римановой поверхности S. См. также Алгебраическая функция.