Абсолютная суммируемость

специальный вид суммируемости рядов и последовательностей, выделяемый из обычной суммируемости наложением дополнительных условий. В матричном методе суммирования эти условия состоят в требовании абсолютной сходимости рядов или последовательностей, полученных в результате преобразования, соответствующего данному методу суммирования. Пусть метод суммирования Аопределен преобразованием последовательности [img: http://localhost:8080/file/010103-154.jpg] в последовательность [img: http://localhost:8080/file/010103-156.jpg] посредством матрицы [img: http://localhost:8080/file/010103-157.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010103-155.jpg] тогда последовательность [img: http://localhost:8080/file/010103-158.jpg] абсолютно суммируема методом [img: http://localhost:8080/file/010103-159.jpg] к пределу s, если она A-суммируема к этому пределу, т. е. [img: http://localhost:8080/file/010103-160.jpg] и последовательность [img: http://localhost:8080/file/010103-161.jpg] имеет ограниченную вариацию: [img: http://localhost:8080/file/010103-162.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010103-163.jpg] являются частичными суммами ряда [img: http://localhost:8080/file/010103-164.jpg] то в этом случае ряд (2) абсолютно суммируем методом Ак сумме s. Условие (1) и есть то дополнительное условие, к-рое выделяет в этом случае А. с. из обычной суммируемости. Аналогично определяется А. с. для методов, определяемых матричными преобразованиями рядов в последовательности. Если же метод суммирования определен преобразованием ряда (2) в ряд [img: http://localhost:8080/file/010103-165.jpg] посредством матрицы [img: http://localhost:8080/file/010103-166.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010103-167.jpg] то дополнительное условие здесь состоит в требовании абсолютной сходимости ряда (3). В частном случае, когда методу Асоответствует тождественное преобразование последовательности в последовательность или ряда в ряд, А. с. ряда совпадает с его абсолютной сходимостью. Для нематричных методов суммирования соответствующие дополнительные условия надлежащим образом видоизменяются. Так, для Абеля метода суммирования таким условием является требование, чтобы функция [img: http://localhost:8080/file/010103-168.jpg] имела ограниченную вариацию на полуинтервале 0<=x<1. Для интегральных методов суммирования А. с. выделяется требованием абсолютной сходимости соответствующих интегралов. Так, в Бореля методе суммирования должен абсолютно сходиться интеграл [img: http://localhost:8080/file/010103-169.jpg] Метод суммирования наз. сохраняющим абсолютную сходимость ряда, если он абсолютно суммирует каждый абсолютно сходящийся ряд. Если каждый такой ряд суммируем этим методом к той же сумме, к к-рой он сходится, то метод наз. а б-солютно регулярным. Напр., Чезаро метод суммирования [img: http://localhost:8080/file/010103-170.jpg] абсолютно регулярен при [img: http://localhost:8080/file/010103-171.jpg] Метод Абеля абсолютно регулярен. Необходимыми и достаточными условиями абсолютной регулярности метода суммирования, определенного преобразованием ряда в ряд посредством матрицы [img: http://localhost:8080/file/010103-172.jpg] являются условия: [img: http://localhost:8080/file/010103-173.jpg] (теорема Кноппа- Лоренца). Имеются аналоги этих условий и для методов суммирования, определяемых преобразованиями других видов. Обобщением А. с. является абсолютная суммируемость в степени [img: http://localhost:8080/file/010103-174.jpg] Дополнительным условием, выделяющим А. с. в степени риз обычной суммируемости, напр., для метода суммирования, заданного преобразованием последовательности [img: http://localhost:8080/file/010103-175.jpg] в последовательность [img: http://localhost:8080/file/010103-176.jpg] является условие: [img: http://localhost:8080/file/010103-177.jpg] Понятие А. с. введено Э. Борелем (Е. Borel) для одного из его методов в формулировке, отличной от современной: А. с. выделялась требованием [img: http://localhost:8080/file/010103-178.jpg] для каждого [img: http://localhost:8080/file/010103-179.jpg] А. с. применялась первоначально при исследовании суммируемости степенных рядов вне круга сходимости. В связи с вопросами умножения суммируемых рядов была определена и исследовалась А. с. методами суммирования Чезаро ([img: http://localhost:8080/file/010103-180.jpg] суммируемость). Общее определение А. с. возникло позже и получило широкое применение в исследованиях по суммированию рядов Фурье.