Абсолютно интегрируемая функция

функция, у к-рой интегрируема ее абсолютная величина. Если функция [img: http://localhost:8080/file/010103-189.jpg] интегрируема по Риману на отрезке [img: http://localhost:8080/file/010103-190.jpg] то ее абсолютная величина интегрируема по Риману на этом отрезке и [img: http://localhost:8080/file/010103-191.jpg] Аналогичное утверждение справедливо для функции ппеременных, интегрируемой по Риману на кубируемой области га-мерного евклидова пространства. Обратное утверждение для функций, интегрируемых по Риману, не справедливо: функция [img: http://localhost:8080/file/010103-192.jpg] равная 1 для рациональных хи - 1 для иррациональных, не интегрируема по Риману, а ее абсолютная величина интегрируема. Для функций, интегрируемых по Лебегу, дело обстоит иначе: функция [img: http://localhost:8080/file/010103-193.jpg] интегрируема по Лебегу (суммируема) на измеримом множестве Е n -мерного пространства тогда и только тогда, когда на этом множестве интегрируема по Лебегу ее абсолютная величина, при этом справедливо неравенство: [img: http://localhost:8080/file/010103-194.jpg] В случае несобственных одномерных интегралов в смысле Римана или Лебега по промежутку [img: http://localhost:8080/file/010103-195.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010103-196.jpg] (при условии, что функция f(x) интегрируема по Риману или, соответственно, по Лебегу на любом отрезке [img: http://localhost:8080/file/010103-197.jpg]) из существования несобственного интеграла от абсолютной величины функции [img: http://localhost:8080/file/010103-198.jpg] следует и существование интеграла [img: http://localhost:8080/file/010103-199.jpg] но не наоборот (см. Абсолютно сходящийся несобственный интеграл). При этом, если существует несобственный интеграл [img: http://localhost:8080/file/010103-200.jpg] то функция f(х).интегрируема по Лебегу на промежутке [ а, b).и несобственный интеграл от нее равен интегралу Лебега. В случае функций многих переменных (число к-рых n>1) несобственные интегралы обычно определяются таким образом, что существование несобственного интеграла от абсолютной величины функции равносильно существованию несобственного интеграла от самой функции. Пусть значения функции [img: http://localhost:8080/file/010103-201.jpg] принадлежат нек-рому банахову пространству с нормой [img: http://localhost:8080/file/010103-202.jpg] Тогда функция [img: http://localhost:8080/file/010103-203.jpg] наз. абсолютно интегрируемой на измеримом множестве Е, если существует интеграл [img: http://localhost:8080/file/010103-204.jpg] при этом, если функция [img: http://localhost:8080/file/010103-205.jpg] интегрируема на Е, то [img: http://localhost:8080/file/010103-206.jpg]