Абсолютно сходящийся ряд

- ряд [img: http://localhost:8080/file/010103-229.jpg] с (вообще говоря) комплексными членами, для к-рого сходится ряд [img: http://localhost:8080/file/010103-230.jpg] Для абсолютной сходимости ряда (1) необходимо и достаточно (критерий Коши абсолютной сходимости ряда), чтобы для любого [img: http://localhost:8080/file/010103-231.jpg] существовал такой номер [img: http://localhost:8080/file/010103-232.jpg], что для всех номеров [img: http://localhost:8080/file/010103-233.jpg] и всех целых [img: http://localhost:8080/file/010103-234.jpg] выполнялось неравенство [img: http://localhost:8080/file/010103-235.jpg] Если ряд абсолютно сходится, то он сходится. Ряд [img: http://localhost:8080/file/010103-236.jpg] абсолютно сходится [img: http://localhost:8080/file/010103-237.jpg] а ряд [img: http://localhost:8080/file/010103-238.jpg] сходится, но не абсолютно. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010103-239.jpg] - ряд, составленный из тех же членов, что и ряд (1), но взятых, вообще говоря, в другом порядке. Из абсолютной сходимости ряда (1) следует и абсолютная сходимость ряда (3), и ряд(З) имеет ту же самую сумму, что и ряд (1). Если ряды [img: http://localhost:8080/file/010103-240.jpg] абсолютно сходятся, то: любая их линейная комбинация [img: http://localhost:8080/file/010103-241.jpg] также абсолютно сходится; ряд, полученный из всевозможных попарных произведений [img: http://localhost:8080/file/010103-242.jpg] членов этих рядов, расположенных в произвольном порядке, также абсолютно сходится и его сумма равна произведению сумм данных рядов. Перечисленные свойства абсолютно сходящихся рядов переносятся и на кратные ряды [img: http://localhost:8080/file/010103-243.jpg] При этом, если кратный ряд абсолютно сходится, то он сходится, напр., как в смысле сферических частных сумм, так и в смысле прямоугольных; притом его сумма в обоих случаях оказывается одной и той же. Если кратный ряд (4) абсолютно сходится, то повторный ряд [img: http://localhost:8080/file/010103-244.jpg] абсолютно сходится, т. е. абсолютно сходятся все ряды, получающиеся последовательным суммированием членов ряда (4) по индексам [img: http://localhost:8080/file/010103-245.jpg] причем суммы кратного ряда (4) и повторного (5) равны и совпадают с суммой любого однократного ряда, образованного из всех членов ряда (4). Если члены ряда (1) суть элементы нек-рого банахова пространства с нормой элементов [img: http://localhost:8080/file/010103-246.jpg] то ряд (1) наз. абсолютно сходящимся, если сходится ряд [img: http://localhost:8080/file/010103-247.jpg] На случай А. с. р. элементов банахова пространства также обобщаются рассмотренные выше свойства абсолютно сходящихся числовых рядов, в частности А. с. р. элементов банахова пространства сходится в этом пространстве. Аналогичным образом понятие А. с. р. переносится и на кратные ряды в банаховом пространстве. [img: http://localhost:8080/file/010103-248.jpg]