Автономная система

обыкновенных дифференциальных уравнений - система обыкновенных дифференциальных уравнений, в к-рую не входит явно независимое переменное t(время). Общий вид А. с. 1-го порядка в нормальной форме: [img: http://localhost:8080/file/010107-253.jpg] или, в векторной записи, [img: http://localhost:8080/file/010107-254.jpg] Неавтономная система [img: http://localhost:8080/file/010107-255.jpg] сводится к А. с., если ввести новую неизвестную функцию [img: http://localhost:8080/file/010107-256.jpg] Исторически А. с. возникли при описании физич. процессов с конечным числом степеней свободы. А. с. наз. также динамическими, или консервативным и (см. Динамическая система). Комплексная А. с. вида (1) эквивалентна вещественной А. с. с 2n неизвестными функциями [img: http://localhost:8080/file/010107-257.jpg] Содержательная теория комплексных А. с., отличная от вещественного случая, имеет место в случае аналитических [img: http://localhost:8080/file/010107-258.jpg] (см. Аналитическая теория дифференциальных уравнений). Будем рассматривать А. с. с действительными коэффициентами и их действительные решения. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010107-259.jpg] - (произвольное) решение А. с. (1), [img: http://localhost:8080/file/010107-260.jpg] - интервал его определения, [img: http://localhost:8080/file/010107-261.jpg] - решение с начальными данными [img: http://localhost:8080/file/010107-262.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/010107-263.jpg] - область в [img: http://localhost:8080/file/010107-264.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010107-265.jpg] Точка [img: http://localhost:8080/file/010107-266.jpg] наз. положением равновесия (точкой покоя) А. с. (1), если [img: http://localhost:8080/file/010107-267.jpg] Положению [img: http://localhost:8080/file/010107-268.jpg] равновесия отвечает решение [img: http://localhost:8080/file/010107-269.jpg] Локальные свойства решений. 1) Если [img: http://localhost:8080/file/010107-270.jpg] - решение, то [img: http://localhost:8080/file/010107-271.jpg] - решение при любом [img: http://localhost:8080/file/010107-272.jpg] 2) Существование: при любых [img: http://localhost:8080/file/010107-273.jpg] решение [img: http://localhost:8080/file/010107-274.jpg] существует на нек-ром интервале [img: http://localhost:8080/file/010107-275.jpg] 3) Гладкость: если [img: http://localhost:8080/file/010108-2.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010108-3.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010108-1.jpg] 4) Зависимость от параметров: пусть [img: http://localhost:8080/file/010108-4.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/010108-5.jpg] (подробнее см. [1] - [4]). 5) Пусть [img: http://localhost:8080/file/010108-6.jpg] не является положением равновесия, тогда существуют окрестности F, Wточек [img: http://localhost:8080/file/010108-7.jpg] соответственно, и диффеоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010108-8.jpg] такие, что А. с. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/010108-9.jpg] в W. Замена переменных [img: http://localhost:8080/file/010108-10.jpg] в А. с. (1) приводит к системе [img: http://localhost:8080/file/010108-11.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/010108-12.jpg] - Якоби матрица). Глобальные свойства решений. 1) Любое решение [img: http://localhost:8080/file/010108-13.jpg] А. с. (1) можно продолжить на интервал [img: http://localhost:8080/file/010108-14.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/010108-15.jpg], то решение наз. неограниченно продолжаемым; если [img: http://localhost:8080/file/010108-16.jpg] то решение наз. неограниченно продолжаемым "в перед повремени" (аналогично - "назад"). Если [img: http://localhost:8080/file/010108-17.jpg] то для любого компакта [img: http://localhost:8080/file/010108-18.jpg] существует [img: http://localhost:8080/file/010108-19.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/010108-20.jpg] такое, что точка [img: http://localhost:8080/file/010108-21.jpg] находится вне [img: http://localhost:8080/file/010108-22.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010108-23.jpg] (аналогично при [img: http://localhost:8080/file/010108-24.jpg]; см. Продолжаемость решений дифференциальных уравнений). 2) Продолжение единственно в том смысле, что любые два решения с общими начальными данными совпадают на общей области их определения. 3) Всякое решение А. с. принадлежит к одному из трех типов: а) непериодическое, причем [img: http://localhost:8080/file/010108-25.jpg] для любых [img: http://localhost:8080/file/010108-26.jpg]) периодическое, непостоянное; с) [img: http://localhost:8080/file/010108-27.jpg]. Геометрическая интерпретация А. с. Каждому решению [img: http://localhost:8080/file/010108-28.jpg] ставится в соответствие кривая Г: [img: http://localhost:8080/file/010108-29.jpg] лежащая в области G. Тогда Gназ. фазовым пространством А. с., Г - фазовой траекторией, решение интерпретируется как движение по фазовой траектории. Фазовым потоком наз. отображение [img: http://localhost:8080/file/010108-30.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010108-31.jpg] по формуле [img: http://localhost:8080/file/010108-32.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010108-33.jpg] (т. е. каждая точка сдвигается за время tвдоль фазовой траектории). На своей области определения фазовый поток удовлетворяет условиям: 1) [img: http://localhost:8080/file/010108-34.jpg] непрерывно по [img: http://localhost:8080/file/010108-35.jpg] 2) справедливо групповое свойство: [img: http://localhost:8080/file/010108-36.jpg] Имеет место теорема Лиувилля: пусть [img: http://localhost:8080/file/010108-37.jpg] - область с конечным объемом, [img: http://localhost:8080/file/010108-38.jpg] - объем области [img: http://localhost:8080/file/010108-39.jpg] тогда [img: http://localhost:8080/file/010108-40.jpg] Для гамильтоновой системы из (3) следует сохранение фазового объема фазовым потоком. Другой вариант равенства (3): пусть [img: http://localhost:8080/file/010108-41.jpg] - семейство решений А. с. (1), [img: http://localhost:8080/file/010108-42.jpg] - область, [img: http://localhost:8080/file/010108-43.jpg] тогд а [img: http://localhost:8080/file/010108-44.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010108-45.jpg] Структура фазовых траекторий. 1) Любые две фазовые траектории либо не имеют общих точек, либо совпадают. 2) Всякая фазовая траектория принадлежит к одному из типов: а) гладкая простая незамкнутая жорданова дуга, b) цикл, т. е. кривая, диффеоморфная окружности, с) точка (положение равновесия). Локальная структура фазовых траекторий в малой окрестности точки, отличной от положения равновесия, тривиальна (см. локальное свойство 5) решений): семейство фазовых траекторий диффеоморфно семейству параллельных прямых. Для линейной А. с. структура фазовых траекторий в окрестности положения равновесия известна, так как А. с. интегрируема (см. [5]). Для нелинейных А. с. этот вопрос принадлежит к числу не решенных до конца проблем даже при n=2 (см. Качественная теория дифференциальных уравнений). Одним из аспектов этой проблемы является вопрос об устойчивости положения равновесия (см. Устойчивости теория). Ниже приведены нек-рые результаты. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010108-46.jpg] - положения равновесия систем (1) и [img: http://localhost:8080/file/010108-47.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010108-48.jpg] - окрестности точек [img: http://localhost:8080/file/010108-49.jpg] Системы (1) и (1') наз. эквивалентными в окрестности положения равновесия [img: http://localhost:8080/file/010108-50.jpg] если существуют [img: http://localhost:8080/file/010108-51.jpg] и взаимно однозначное отображение h: U->V такие, что [img: http://localhost:8080/file/010108-52.jpg] (если [img: http://localhost:8080/file/010108-53.jpg] т. е. при замене [img: http://localhost:8080/file/010108-54.jpg] траектории А. с. (1) переходят в траектории А. с. [img: http://localhost:8080/file/010108-55.jpg] Эквивалентность наз. дифференцируемой (топологической), если hесть диффеоморфизм (гомеоморфизм). Пусть [img: http://localhost:8080/file/010108-56.jpg] - положение равновесия А. с. (1), матрица [img: http://localhost:8080/file/010108-57.jpg] невырождена и не имеет чисто мнимых собственных значений. Тогда А. с. (1) в окрестности [img: http://localhost:8080/file/010108-58.jpg] топологически эквивалентна своей линейной части [img: http://localhost:8080/file/010108-59.jpg]. Полярный пример: А. с. [img: http://localhost:8080/file/010108-60.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010108-61.jpg] - постоянные матрицы с чисто мнимыми собственными значениями и [img: http://localhost:8080/file/010108-62.jpg] неизвестно, когда эти А. с. топологически эквивалентны. Одной из самых фундаментальных задач теории А. с. является задача о структуре всего семейства фазовых траекторий. Наиболее полные результаты получены при [img: http://localhost:8080/file/010108-63.jpg] но даже в этом случае задача далека от своего разрешения.