Адамса метод

- конечно разностный метод решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений 1-го порядка [img: http://localhost:8080/file/010108-201.jpg] При интегрировании по сетке с постоянным шагом [img: http://localhost:8080/file/010108-202.jpg] расчетные формулы имеют вид: а) экстра-поляционные [img: http://localhost:8080/file/010108-203.jpg] б) интерполяционные [img: http://localhost:8080/file/010108-204.jpg] При одном и том же kформула б) точнее, но требует решения нелинейной системы уравнений для нахождения значения [img: http://localhost:8080/file/010108-205.jpg] На практике находят приближение из а), а затем приводят одно-два уточнения по формуле [img: http://localhost:8080/file/010108-206.jpg] уточнения сходятся при условии [img: http://localhost:8080/file/010108-207.jpg] Начальные условия [img: http://localhost:8080/file/010108-208.jpg] для А. м., необходимые для начала вычислений по формулам а), определяются каким-либо специальным образом. Погрешность решения записывается в виде [img: http://localhost:8080/file/010108-209.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010108-210.jpg] - решение системы [img: http://localhost:8080/file/010108-211.jpg] Структура члена [img: http://localhost:8080/file/010108-212.jpg] такова, что обычно при малых hон равномерно мал по сравнению с главным членом на больших промежутках интегрирования. Это обстоятельство обеспечивает возможность применения А. м. на больших промежутках интегрирования в случае абсолютно устойчивого решения дифференциальной задачи; в частности, в отличие от Милна метода, его можно применять для отыскания устойчивых периодич. решений дифференциальных уравнений. Стандартная программа А. м. интегрирования с автоматич. выбором шага существенно сложнее стандартной программы Рун ге - Кутта метода, вследствие более сложного алгоритма при изменении шага и нестандартного выбора начальных значений [img: http://localhost:8080/file/010108-213.jpg] Для случая уравнений [img: http://localhost:8080/file/010108-214.jpg] расчетная формула а) имеет вид: [img: http://localhost:8080/file/010108-215.jpg] Это уравнение имеет частные решения [img: http://localhost:8080/file/010108-216.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010108-217.jpg] - корень уравнения [img: http://localhost:8080/file/010108-218.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010108-219.jpg] то среди корней этого уравнения есть корень [img: http://localhost:8080/file/010108-220.jpg], и ошибки округления сильно возрастают. При интегрировании с автоматич. выбором шага в ряде случаев это обстоятельство вызывает неоправданное измельчение шага. Однако в большинстве случаев А. м. оказывается несколько более экономичным по сравнению с методом Рунге - Кутта. А. м. предложен впервые Дж. К. Адамсом (J. С. Adams, 1855).