Аддитивная категория

-категория С, в к-рой для любых двух объектов [img: http://localhost:8080/file/010108-229.jpg] на множестве морфиз-мов [img: http://localhost:8080/file/010108-230.jpg] определена структура абелевой группы таким образом, что композиция морфизмов [img: http://localhost:8080/file/010108-231.jpg] является билинейным отображением. Кроме того, требуется, чтобы в Ссуществовал нулевой объект (или нуль), а также произведение [img: http://localhost:8080/file/010108-232.jpg] любых двух объектов [img: http://localhost:8080/file/010108-233.jpg] В А. к. существует прямая сумма [img: http://localhost:8080/file/010108-234.jpg] любых двух объектов, к-рая изоморфна их произведению [img: http://localhost:8080/file/010108-235.jpg] Двойственная категория к А. к. также является А. к. Функтор F: [img: http://localhost:8080/file/010108-236.jpg]. из А. к. С в А. к. [img: http://localhost:8080/file/010108-237.jpg] наз. аддитивным, если для любых объектов Xи Yкатегории С отображение F: [img: http://localhost:8080/file/010108-238.jpg] является гомоморфизмом соответствующих абелевых групп. А. к. наз. предабелевой, если для любого морфизма существует ядро и коядро. Если для морфизма и: [img: http://localhost:8080/file/010108-239.jpg] в А. к. существует образ [img: http://localhost:8080/file/010108-240.jpg] и кообраз [img: http://localhost:8080/file/010108-241.jpg] то определен единственный морфизм и: [img: http://localhost:8080/file/010108-242.jpg] такой, что морфизм иразлагается в композицию [img: http://localhost:8080/file/010108-243.jpg] Каждая абелева категория по определению аддитивна. Примерами аддитивных неабелевых категорий могут служить категория топологич. модулей над заданным топологич. кольцом относительно морфизмов, являющихся непрерывными линейными отображениями, а также категория абелевых групп [img: http://localhost:8080/file/010108-244.jpg] с фильтрацией Г [img: http://localhost:8080/file/010108-246.jpg] относительно морфизмов, являющихся гомоморфизмами групп, сохраняющими фильтрацию.