Адическая топология

- линейная топология кольца А, в к-рой фундаментальная система окрестностей нуля образована степенями [img: http://localhost:8080/file/010109-134.jpg] нек-рого двустороннего идеала [img: http://localhost:8080/file/010109-135.jpg] В этом случае топология наз. [img: http://localhost:8080/file/010109-136.jpg] адической, а идеал [img: http://localhost:8080/file/010109-137.jpg] - идеалом определения топологии. Замыкание любого множества [img: http://localhost:8080/file/010109-138.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010109-139.jpg] -адической топологии равно [img: http://localhost:8080/file/010109-140.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010109-141.jpg] в частности, топология отделима тогда, и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/010109-142.jpg] Отделимое пополнение [img: http://localhost:8080/file/010109-143.jpg] кольца Ав [img: http://localhost:8080/file/010109-144.jpg] -адической топологии изоморфно проективному пределу [img: http://localhost:8080/file/010109-145.jpg] Аналогично определяется [img: http://localhost:8080/file/010109-146.jpg] -адическая топология А-модуля М:ее фундаментальная система окрестностей нуля задается подмодулями [img: http://localhost:8080/file/010109-147.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010109-148.jpg] -адической топологии Мстановится топологическим А-модулем. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010109-149.jpg] - коммутативное кольцо с единицей в [img: http://localhost:8080/file/010109-150.jpg] адической топологии и [img: http://localhost:8080/file/010109-151.jpg] - его пополнение; если [img: http://localhost:8080/file/010109-152.jpg] - идеал конечного типа, то топология в [img: http://localhost:8080/file/010109-153.jpg] является [img: http://localhost:8080/file/010109-154.jpg] адической, а [img: http://localhost:8080/file/010109-155.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010109-156.jpg] - максимальный идеал, то Аявляется локальным кольцом с максимальным идеалом [img: http://localhost:8080/file/010109-157.jpg] Топологией локального кольца считается А. т., определяемая максимальным идеалом (т-а дическая топология). Для изучения А. т. колец фундаментальной является лемма Артина- Риса: пусть Аесть коммутативное нётерово кольцо, [img: http://localhost:8080/file/010109-158.jpg] есть идеал в А, Е есть А-модуль конечного типа и F- подмодуль модуля Е. Тогда существует такое k, что для любого [img: http://localhost:8080/file/010109-159.jpg] выполняется равенство [img: http://localhost:8080/file/010109-160.jpg] Топологич. интерпретация леммы Артина - Риса показывает, что [img: http://localhost:8080/file/010109-161.jpg] -адическая топология на Fиндуцирована [img: http://localhost:8080/file/010109-162.jpg] -адической топологией модуля Е. Отсюда следует, что пополнение [img: http://localhost:8080/file/010109-163.jpg] кольца Ав [img: http://localhost:8080/file/010109-164.jpg] -адической топологии является плоским Л-модулем (см. Плоский модуль), что пополнение [img: http://localhost:8080/file/010109-165.jpg] А-модуля Еконечного типа совпадает с [img: http://localhost:8080/file/010109-166.jpg] а также теорема Крулля: [img: http://localhost:8080/file/010109-167.jpg] адическая топология нётерова кольца отделима тогда, и только тогда, когда множество [img: http://localhost:8080/file/010109-168.jpg] не содержит делителей нуля. В частности, топология отделима, если [img: http://localhost:8080/file/010109-169.jpg] содержится в радикале (Джекобсона) кольца.