Аксиоматическая теория множеств

-направление в математич. логике, занимающееся изучением фрагментов содержательной теории множеств методами математич. логики. Обычно с этой целью фрагменты теории множеств оформляются в виде формальной аксиоматич. теории. В более узком смысле термин "А. т. м." может служить для обозначения к.-л. формальной аксиоматич. теории, направленной на построение нек-рого фрагмента содержательной ("наивной") теории множеств. Теория множеств, возникшая на рубеже 19-20 вв., уже в самом начале своего развития натолкнулась на парадоксы. Открытие таких фундаментальных парадоксов, как Рассела и Кантора (см. Антиномия), вызвало широкую дискуссию и способствовало коренному пересмотру логико-математич. принципов. Аксиоматич. направление в теории множеств можно рассматривать как инструмент более детального изучения положения дел в создавшейся ситуации. Построение формальной А. т. м. начинается с точного описания языка, на к-ром формулируются утверждения. Затем принципы "наивной" теории множеств выражаются на описанном языке в виде аксиом, схем аксиом. Ниже дано краткое описание нек-рых наиболее распространенных систем А. т. м. Важную роль при этом играет язык, содержащий следующие исходные символы: 1) переменные [img: http://localhost:8080/file/010110-13.jpg] к-рые в языке играют роль общих имен множеств; 2) предикатные символы е (знак принадлежности) и = (знак равенства); 3) оператор дескрипции [img: http://localhost:8080/file/010110-14.jpg] (означающий "такой объект, что..."); 4) логические связки и кванторы: [img: http://localhost:8080/file/010110-15.jpg] (эквивалентно), [img: http://localhost:8080/file/010110-16.jpg] (влечет), [img: http://localhost:8080/file/010110-17.jpg] (или), [img: http://localhost:8080/file/010110-18.jpg] (и), [img: http://localhost:8080/file/010110-19.jpg] (не), [img: http://localhost:8080/file/010110-20.jpg] (для всех), [img: http://localhost:8080/file/010110-21.jpg] (существует); 5) скобки (,). Выражения языка делятся на термы и формулы. Термы являются именами множеств, а формулы выражают суждения. Термы и формулы образуются согласно следующим правилам. П1. Если [img: http://localhost:8080/file/010110-22.jpg] - переменные или термы, то [img: http://localhost:8080/file/010110-23.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010110-24.jpg] суть формулы. П2. Если Аи В - формулы и х - переменная, то [img: http://localhost:8080/file/010110-25.jpg] суть формулы и [img: http://localhost:8080/file/010110-26.jpg] - терм; переменная хесть терм. Напр., формула [img: http://localhost:8080/file/010110-27.jpg] выражает суждение "уесть подмножество z", ее естественно обозначить [img: http://localhost:8080/file/010110-28.jpg] терм [img: http://localhost:8080/file/010110-29.jpg] является именем множества всех подмножеств z, в привычной математич. символике его обозначают через Pz. Пусть знак [img: http://localhost:8080/file/010110-30.jpg] означает "стоящее слева есть обозначение для стоящего справа". Приведем нек-рые дальнейшие обозначения для формул и термов. Пустое множество: [img: http://localhost:8080/file/010110-31.jpg] Множество таких х, что (х). [img: http://localhost:8080/file/010110-32.jpg] где z не входит свободно в (х).(т. е. не является параметром формулы (х)). Неупорядоченная пара хи у. [img: http://localhost:8080/file/010110-33.jpg] Одноэлементное множество из х: [img: http://localhost:8080/file/010110-34.jpg] Упорядоченная пара хи у: [img: http://localhost:8080/file/010110-35.jpg] Объединение хи у: [img: http://localhost:8080/file/010110-36.jpg] Пересечение хи у: [img: http://localhost:8080/file/010110-37.jpg] Объединение всех элементов х: [img: http://localhost:8080/file/010110-38.jpg] Декартово произведение х и у: [img: http://localhost:8080/file/010110-39.jpg] wесть функция: [img: http://localhost:8080/file/010110-40.jpg] Значение функции [img: http://localhost:8080/file/010110-41.jpg] на элементе х: [img: http://localhost:8080/file/010110-42.jpg] zесть стандартное бесконечное множество: [img: http://localhost:8080/file/010110-43.jpg] Следующая аксиоматич. теория А наиболее полно отражает принципы "наивной" теории множеств. Аксиомы А: А1. аксиома объемности: [img: http://localhost:8080/file/010110-44.jpg] ("если множества уи z содержат одни и те же элементы, то они равны"); А2. аксиомы свертывания: [img: http://localhost:8080/file/010110-45.jpg] где А - произвольная формула, не содержащая в качестве параметра у("существует множество у, содержащее те и только те элементы х, для к-рых А"). Описанная система противоречива. Если в А2 в качестве Авзять формулу [img: http://localhost:8080/file/010110-46.jpg] то из формулы [img: http://localhost:8080/file/010110-47.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010110-48.jpg] легко выводится [img: http://localhost:8080/file/010110-49.jpg], что противоречиво. Аксиоматич. системы теории множеств можно разделить на следующие четыре группы. а) Построение аксиоматич. систем первой группы направлено на такое ограничение аксиом свертывания, к-рое обеспечивает наиболее естественный способ формализации обычных математич. доказательств и в то же время позволяет избежать известных парадоксов. Первой аксиоматикой такого рода была система Z Цермело (Е. Zermelo, 1908). Однако в системе Z невозможно естественным образом формализовать нек-рые разделы математики, и А. Френкель (A. Fraenkel, 1922) предложил пополнить Z новым принципом, названным им аксиомой подстановки. Полученная система наз. системой Цермело- Френкеля и обозначается ZF. б) Вторую группу составляют системы, аксиомы к-рых выбраны в связи с к.-л. объяснением парадоксов, напр, как следствий непредикативных определений. Сюда относятся: разветвленная теория типов Рассела, простая теория типов Т, теории типов с трансфинитными индексами (см. Типов теория). в) Третья группа характеризуется использованием нестандартных средств логич. вывода, многозначных логик, дополнительных условий на доказательства, бесконечных правил вывода. Системы, относящиеся к этому направлению, наименее развиты. г) Четвертая группа включает модификации систем первых трех групп, преследующие определенные логич. или математич. цели. Укажем только на системы NBG Неймана - Гёделя - Бернайса (J. Neumann - К. Godel-Р. Bernays, 1925) и NF Куайна (W. Quine, 1937). Построение системы NBG вызвано желанием иметь конечное число аксиом для теории множеств, основанной на системе ZF. В NF реализуется стремление преодолеть расслоение понятий, имеющее место в теории типов. Системы Z, ZF, NF можно формулировать в описанном выше языке. Правила вывода, а также так наз. логические аксиомы у этих систем совпадают и образуют прикладное исчисление предикатов 1-й ступени с равенством и оператором дескрипции. Укажем только аксиомы для равенства и оператора дескрипции: [img: http://localhost:8080/file/010110-50.jpg] где (х) - формула, не содержащая связанной переменной у(т. е. не имеющая вхождений вида [img: http://localhost:8080/file/010110-51.jpg] iy), и (у).получается из формулы (х).заменой нек-рых свободных вхождений [img: http://localhost:8080/file/010110-52.jpg] переменной хна у; где квантор [img: http://localhost:8080/file/010110-53.jpg] х означает "существует одно и только одно х", а формула [img: http://localhost:8080/file/010110-54.jpg] получается из формулы (х).заменой всех свободных вхождений переменной хна терм [img: http://localhost:8080/file/010110-55.jpg] Квантор [img: http://localhost:8080/file/010110-56.jpg] выразим через кванторы [img: http://localhost:8080/file/010110-57.jpg] и равенство. Нелогические аксиомы системы Z: Z1. аксиома объемности А1; Z2. аксиома пары: [img: http://localhost:8080/file/010110-58.jpg] ("существует множество {х, у}");Z3. аксиома суммы: [img: http://localhost:8080/file/010110-59.jpg] ("существует множество [img: http://localhost:8080/file/010110-60.jpg] z"); Z4. аксиома степени: [img: http://localhost:8080/file/010110-61.jpg] ("существует множество Pz");Z5. аксиома выделения: [img: http://localhost:8080/file/010110-62.jpg] ("существует подмножество z, состоящее из тех элементов х, для к-рых имеет место (х)");аксиомы Z2 -Z5 являются примерами аксиом свертывания; Z6. аксиома бесконечности: [img: http://localhost:8080/file/010110-63.jpg] Z7. аксиома выбора: [img: http://localhost:8080/file/010110-64.jpg] ("для всякого множества [img: http://localhost:8080/file/010110-65.jpg] существует функция [img: http://localhost:8080/file/010110-66.jpg] выбирающая из каждого непустого элемента хмножества z единственный элемент [img: http://localhost:8080/file/010110-67.jpg] "). К этим аксиомам добавляют еще аксиому фундирования: Z8. [img: http://localhost:8080/file/010110-68.jpg] цель к-рой - постулировать, что не существует убывающих цепей [img: http://localhost:8080/file/010110-69.jpg] Аксиома Z8 позволяет упростить построения в Z. Добавление этой аксиомы не вносит противоречия. В системе Z можно развивать арифметику, анализ, функциональный анализ, рассматривать кардинальные числа, меньшие [img: http://localhost:8080/file/010110-70.jpg] Однако если определить алефы стандартным образом, то доказать в Z существование [img: http://localhost:8080/file/010110-71.jpg] и более высоких кардиналов уже невозможно. Система ZF получается из Z добавлением аксиом подстановки Френкеля, к-рым можно придать вид аксиом свертывания: ZF9. [img: http://localhost:8080/file/010110-72.jpg] ("существует множество у, состоящее из [img: http://localhost:8080/file/010110-73.jpg] когда vпробегает все элементы множества z"). Иначе говоря, уполучается из z, если каждый элемент у из z заменить на [img: http://localhost:8080/file/010110-74.jpg] Система ZF является очень сильной теорией. Все обычные математич. теоремы формализуются в ZF. Система NBG получается из системы ZF добавлением нового типа переменных - классовых переменных X, Y, Z,... и конечного числа аксиом образования классов, позволяющих доказать формулы вида [img: http://localhost:8080/file/010110-75.jpg] где (х) - формула системы NBG, не содержащая связанных классовых переменных и символа i. Поскольку по каждой формуле (х).можно образовать класс, то бесконечное число аксиом ZF удается заменить конечным числом аксиом, содержащих классовую переменную. Аксиома выбора имеет вид: [img: http://localhost:8080/file/010110-76.jpg] и утверждает существование единой для всех множеств функции выбора, являющейся классом. Система NF имеет наиболее простую аксиоматику, а именно: 1) аксиому объемности и 2) те аксиомы свертывания, в к-рых формулу Аможно стратифицировать, т. е. приписать всем переменным формулы Аверхние индексы таким образом, чтобы получилась формула теории типов Т, т. е. в подформулах вида хeуиндекс у хна единицу меньше, чем индекс у y. Система NF обладает следующими особенностями: а) выбора аксиома и обобщенная континуум-гипотеза опровержимы; б) бесконечности аксиома доказуема; в) аксиома объемности играет весьма существенную роль. Так, если аксиому объемности заменить несколько более слабой аксиомой: [img: http://localhost:8080/file/010110-77.jpg] допускающей много пустых множеств, а аксиомы свертывания NF оставить без изменения, то получится довольно слабая теория, именно: уже в формальной арифметике можно доказать непротиворечивость полученной системы. Ниже приведены результаты о соотношениях между описанными системами. (a) Всякая формула ZF доказуема в NBG тогда и только тогда, когда она доказуема в ZF. (b) В ZF можно установить непротиворечивость Z, пополненной любым конечным числом примеров схемы аксиом подстановки ZF9. Таким образом, ZF значительно сильнее Z. (g) В Z доказуема непротиворечивость Т, так что Z сильнее Т. (d) NF не слабее Т в том смысле, что в NF можно развить всю теорию типов. Аксиоматич. подход к теории множеств позволил придать точный смысл утверждению о принципиальной неразрешимости нек-рых математич. проблем и строго доказать его. Общая схема применения аксиоматич. метода здесь такова. Рассматривается формальная аксиоматич. система S теории множеств (как правило, это ZF или нек-рые ее модификации), настолько универсальная, чтобы она содержала все обычные способы рассуждения классич. математики и все обычные математич. факты могли бы в ней быть выведены. Данная проблема Аможет быть записана в виде формулы в языке S. Затем математич. методами устанавливается, что в Sневозможно вывести ни А, ни отрицание А. Отсюда следует, что проблема Ане может быть разрешена (в ту или иную сторону) средствами теории S, но так как теория Sопределялась в расчете охватить все обычные методы рассуждения, то полученный результат свидетельствует о том, что Ане может быть разрешена обычными методами рассуждения, т. е. свидетельствует о "трансцендентности" А. Результаты о невыводимости в теории Sдоказываются, как правило, в предположении о непротиворечивости S или нек-рого естественного расширения S. Это связано с тем, что, с одной стороны, проблема может быть невыводима в Sтолько при непротиворечивости S, последнее же не может быть установлено средствами S (согласно Гёделя теореме о неполноте), т. е. не может быть доказано обычными методами. С другой стороны, непротиворечивость Sявляется обычно весьма правдоподобной гипотезой. Сама теория Sопределяется в расчете на выполнение этой гипотезы. Далее, аксиоматич. подход к теории множеств позволил точно поставить и решить проблемы, связанные с эффективностью в теории множеств, интенсивно обсуждавшиеся особенно в первый период развития теории множеств в работах Р. Бэра (R. Baire), Э. Бореля (Е. Borel), А. Лебега (Н. Lebesgue), С. Н. Бернштейна, Н. Н. Лузина, В. Серпинского [img: http://localhost:8080/file/010110-78.jpg] А именно, говорят, что теоретико-множественный объект, удовлетворяющий свойству [img: http://localhost:8080/file/010110-79.jpg] задается эффективно в аксиоматич. теории S, если может быть построена формула (х).теории S, про к-рую в Sможно доказать, что ей удовлетворяет единственный объект, и этот объект удовлетворяет свойству [img: http://localhost:8080/file/010110-80.jpg] Это определение дает возможность точно доказать, что для нек-рых свойств [img: http://localhost:8080/file/010110-81.jpg] в теории Sневозможно эффективно указать объект, удовлетворяющий свойству [img: http://localhost:8080/file/010110-82.jpg] в то время как существование этих объектов в S может быть установлено. Но поскольку теория Sвыбирается достаточно универсальной, то неэффективность существования нек-рых объектов в Sсвидетельствует и о невозможности эффективно установить их существование обычными математич. средствами. Наконец, методы А. т. м. позволили решить ряд трудных проблем и в классич. ветвях математики: теории кардинальных и ординальных чисел, дескриптивной теории множеств, топологии. Ниже приведены нек-рые из результатов в А. т. м. Большинство теорем относится к А. т. м. [img: http://localhost:8080/file/010110-83.jpg] Цермело - Френкеля, наиболее употребительной в настоящее время. Пусть ZF - есть система ZF без аксиомы выбора Z7. В силу [img: http://localhost:8080/file/010110-84.jpg] результаты легко адаптируются и к системе NBG. 1) К. Гёдель (1939) показал, что если [img: http://localhost:8080/file/010110-85.jpg] непротиворечива, то она остается непротиворечивой и после добавления аксиомы выбора и континуум-гипотезы. Отсюда следует, что в ZF невозможно опровергнуть аксиому выбора или континуум-гипотезу. Для доказательства этого результата Гёдель построил модель теории ZF, состоящую из так наз. конструктивных по Гёделю множеств и играющую важную роль в современной А. т. м. 2) Вопрос о том, можно ли вывести в ZF аксиому выбора или континуум-гипотезу, оставался открытым вплоть до 1963, когда П. Коэн (P. Cohen) с помощью разработанного им вынуждения метода показал, что если ZF- непротиворечива, то она остается таковой и после присоединения любой комбинации из аксиомы выбора, континуум-гипотезы или их отрицаний. Таким образом, эти две проблемы независимы в ZF. Основным методом установления невыводимости формулы Ав ZF является построение модели ZF, в к-рой имеет место отрицание А. Метод вынуждения Коэна, усовершенствованный затем другими авторами, сильно расширил возможности построения моделей теории множеств и в настоящее время лежит в основе почти всех дальнейших результатов о невыводимости. Напр.: 3) Показано, что к ZF без противоречия можно присоединить гипотезу о том, что мощность множества подмножеств множества хможет быть почти произвольной наперед заданной функцией мощности хна регулярных кардиналах (единственные существенные ограничения связаны с теоремой Кёнига). 4) В 1920 М. Я. Суслин сформулировал гипотезу: всякое линейно полно упорядоченное множество такое, что всякое попарно непересекающееся семейство непустых открытых интервалов в нем не более чем счетно, необходимо содержит счетное всюду плотное подмножество. Методом Коэна была установлена неразрешимость в ZF гипотезы Суслина. 5) Показана неразрешимость в [img: http://localhost:8080/file/010110-86.jpg] (без аксиомы выбора) утверждения: всякое подмножество множества действительных чисел измеримо по Лебегу. 6) Выяснено взаимоотношение с ZF многих важных проблем дескриптивной теории множеств. Первые результаты в этом направлении были объявлены Гёделем в 30-х гг. и доказаны П. С. Новиковым [5]. Методы А. т. м. позволили обнаружить неизвестные ранее связи между проблемами "наивной" теории множеств. Доказано, напр., что из существования неизмеримого по Лебегу множества действительных чисел типа [img: http://localhost:8080/file/010110-87.jpg] вытекает существование несчетного [img: http://localhost:8080/file/010110-88.jpg] (т. е. СА).множества без совершенного подмножества. 7) Доказано отсутствие в ZF эффективного вполне упорядочения континуума. Получены многочисленные результаты об отсутствии эффективно определенных объектов в дескриптивной теории множеств и теории ординалов.