Алгебраическая группа

группа G, наделенная структурой алгебраического многообразия, в к-рой умножение [img: http://localhost:8080/file/010113-87.jpg] и переход к обратному элементу [img: http://localhost:8080/file/010113-88.jpg] являются регулярными отображениями (морфизмами) алгебраич. многообразий. А. г. наз. определенной над полем [img: http://localhost:8080/file/010113-89.jpg], если ее алгебраич. многообразие, а также морфизм [img: http://localhost:8080/file/010113-90.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010113-91.jpg] определены над [img: http://localhost:8080/file/010113-92.jpg] В этом случае множество [img: http://localhost:8080/file/010113-93.jpg] -рациональных точек многообразия Gявляется абстрактной группой, к-рая обозначается [img: http://localhost:8080/file/010113-94.jpg]. А. г. наз. связной, если ее алгебраич. многообразие связно. Размерностью А. г. наз. размерность ее алгебраич. многообразия. В дальнейшем рассматриваются только связные А. г. Подгруппа H А. г. G наз. алгебраической, если она является замкнутым подмногообразием алгебраич. многообразия G. Для таких подгрупп пространство классов смежности (левых или правых) может быть естественным образом наделено структурой алгебраич. многообразия, обладающей универсальным свойством (см. Фактор-пространство алгебраической группы). Если подгруппа H, кроме того, нормальна, то факторгруппа [img: http://localhost:8080/file/010113-95.jpg] является А. г. относительно указанной выше структуры; она наз. алгебраической факторгруппой. Гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010113-96.jpg] А. г. наз. алгебраическим, если [img: http://localhost:8080/file/010113-97.jpg] - морфизм их алгебраич. многообразий; если [img: http://localhost:8080/file/010113-98.jpg] определен над [img: http://localhost:8080/file/010113-99.jpg], то он наз. [img: http://localhost:8080/file/010113-100.jpg] -гомоморфизмом. Аналогично определяется k- изоморфизм А. г. Примеры А. г.: полная линейная группа [img: http://localhost:8080/file/010114-1.jpg] - группа всех обратимых матриц порядка пс коэффициентами в фиксированном алгебраически замкнутом поле k, группа треугольных матриц, эллиптическая кривая. Существуют два основных типа А. г., совершенно различных по своим свойствам: абелевы многообразия и линейные алгебраические группы;при этом принадлежность А. г. к одному из этих типов определяется исключительно свойствами многообразия группы. А. г. наз. абелевым многообразием, если ее алгеб-раич. многообразие полное. А. г. наз. линейной А. г., если она изоморфна алгебраич. подгруппе полной линейной группы. А. г. является линейной тогда и только тогда, когда ее алгебраич. многообразие аффинно. Эти два класса А. г. имеют тривиальное пересечение: если А. г. есть одновременно абелево многообразие и линейная группа, то она единичная группа. Изучение произвольных А. г. в значительной степени сводится к изучению абелевых многообразий и линейных групп. Именно, в произвольной А. г. существует единственная нормальная линейная алгебраич. подгруппа Нтакая, что факторгруппа G/Hесть абелево многообразие. Многочисленные примеры А. г., не являющихся ни линейными А. г., ни абелевыми многообразиями, дает теория обобщенных Якоби многообразий для алгебраич. кривых с особенностями (см. [4]). Естественное расширение класса алгебраич. групп приводит к понятию групповой схемы. [img: http://localhost:8080/file/010114-2.jpg]