Алгебраическая группа преобразований

алгебраическая группа G, действующая регулярно на алгебраич. многообразии V. Точнее, А. г. п. есть тройка [img: http://localhost:8080/file/010114-3.jpg] - морфизм алгебраич. многообразий, удовлетворяющий условиям: [img: http://localhost:8080/file/010114-4.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010114-5.jpg] и g, [img: http://localhost:8080/file/010114-6.jpg] (е- единица G). Если [img: http://localhost:8080/file/010114-7.jpg] определены над полем k, то [img: http://localhost:8080/file/010114-8.jpg] наз. алгебраич. группой k-преобразований. Напр., [img: http://localhost:8080/file/010114-9.jpg] - присоединенное действие или действие посредством сдвигов, является А. г. п. Если G - алгебраич. подгруппа в GL(n), [img: http://localhost:8080/file/010114-10.jpg] - ее естественное действие в аффинном пространстве [img: http://localhost:8080/file/010114-11.jpg] - А. г. п. Для всякой точки [img: http://localhost:8080/file/010114-12.jpg] через [img: http://localhost:8080/file/010114-13.jpg] обозначается орбита х, а через [img: http://localhost:8080/file/010114-14.jpg] - стабилизатор х. Орбита [img: http://localhost:8080/file/010114-15.jpg] не обязательно замкнута в V, но всегда существуют замкнутые орбиты, напр, замкнутые орбиты минимальной размерности. Иногда под А. г. п. понимается алгебраич. группа G, действующая рационально (но не обязательно регулярно) на алгебраич. многообразии V(это значит, что [img: http://localhost:8080/file/010114-16.jpg] - рациональное отображение, а выписанные выше свойства т выполнены для общих точек). Как показал А. Вейль [3], всегда существует многообразие [img: http://localhost:8080/file/010114-17.jpg] бирационально изоморфное Vи такое, что действие [img: http://localhost:8080/file/010114-18.jpg] индуцированное рациональным действием Gна V, регулярно. Задачи описания орбит, стабилизаторов, полей инвариантных рациональных функций (см. Инвариантов теория).и построения фактормногообразий являются основными в теории А. г. п. и имеют многочисленные применения.