Алгебраических систем квазимногообразие

- класс алгебраич. систем ([img: http://localhost:8080/file/010118-1.jpg] -систем), аксиоматизируемый при помощи специальных формул логич. языка 1-й ступени, к-рые наз. квазитождествами, или условными тождествами, и имеют вид: [img: http://localhost:8080/file/010118-2.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010118-3.jpg] - термы сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/010118-4.jpg] от предметных переменных [img: http://localhost:8080/file/010118-5.jpg]. В силу теоремы Мальцева [1], А. с. к. [img: http://localhost:8080/file/010118-6.jpg] сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/010118-7.jpg] может быть определено также как абстрактный класс [img: http://localhost:8080/file/010118-8.jpg] -систем, содержащий единичную [img: http://localhost:8080/file/010118-9.jpg] -систему [img: http://localhost:8080/file/010118-10.jpg] и замкнутый относительно подсистем и фильтрованных произведений (см. [1], [2]). Аксиоматизируемый класс [img: http://localhost:8080/file/010118-11.jpg] -систем является квазимногообразием тогда и только тогда, когда он содержит единичную [img: http://localhost:8080/file/010118-12.jpg] -систему [img: http://localhost:8080/file/010118-13.jpg] и замкнут относительно подсистем и декартовых произведений. Если [img: http://localhost:8080/file/010118-14.jpg] - квазимногообразие сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/010118-15.jpg], то подкласс [img: http://localhost:8080/file/010118-16.jpg] тех систем [img: http://localhost:8080/file/010118-17.jpg], которые изоморфно вложимы в подходящие системы из некоторого квазимногообразия [img: http://localhost:8080/file/010118-18.jpg] сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/010118-19.jpg], сам является квазимногообразием. Напр., класс полугрупп, вложимых в группы, есть квазимногообразие; класс ассоциативных колец без делителей нуля, вложимых в ассоциативные тела, также является квазимногообразием. Квазпмногообразие [img: http://localhost:8080/file/010118-20.jpg] сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/010118-21.jpg] наз. конечно определимым (или обладающим конечным базисом квазитождеств), если существует такое конечное множество [img: http://localhost:8080/file/010118-22.jpg] квазитождеств сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/010118-23.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/010118-24.jpg] состоит из тех и только тех [img: http://localhost:8080/file/010118-25.jpg] -систем, в к-рых истинны все формулы из множества [img: http://localhost:8080/file/010118-26.jpg]. Напр., квазимногообразне всех полугрупп с сокращением определяется двумя квазитождествами [img: http://localhost:8080/file/010118-27.jpg] и потому конечно определимо. Напротив, квазимногообразне полугрупп, вложпмых в группы, не имеет конечного базиса квазитождеств (см. [1], [2]). Если [img: http://localhost:8080/file/010118-28.jpg] - произвольный (не обязательно абстрактный) класс [img: http://localhost:8080/file/010118-29.jpg] -систем, то наименьшее среди квазимногообразий, содержащих [img: http://localhost:8080/file/010118-30.jpg], наз. импликативным замыканием класса [img: http://localhost:8080/file/010118-31.jpg]. Оно состоит из подсистем изоморфных копий фильтрованных произведений [img: http://localhost:8080/file/010118-32.jpg] -систем из класса [img: http://localhost:8080/file/010118-33.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010118-34.jpg] - единичная [img: http://localhost:8080/file/010118-35.jpg] система. Если [img: http://localhost:8080/file/010118-36.jpg] - импликатпвное замыкание класса [img: http://localhost:8080/file/010118-37.jpg] -систем [img: http://localhost:8080/file/010118-38.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010118-39.jpg] наз. порождающим классом квазимногообразия [img: http://localhost:8080/file/010118-40.jpg]. Квазимногообразие порождается одной системой тогда и только тогда, когда для любых двух систем [img: http://localhost:8080/file/010118-41.jpg] существует в классе [img: http://localhost:8080/file/010118-42.jpg] система [img: http://localhost:8080/file/010118-43.jpg] содержащая подсистемы, изоморфные системам [img: http://localhost:8080/file/010118-44.jpg] (см. [1]). Всякое квазимногообразие [img: http://localhost:8080/file/010118-45.jpg] содержащее неодноэлементную систему, обладает свободными системами любого ранга, к-рые являются одновременно свободными системами в эк-вациональном замыкании класса [img: http://localhost:8080/file/010118-46.jpg] Квазимногообразия [img: http://localhost:8080/file/010118-47.jpg] -систем, содержащиеся в к.-л. фиксированном квазимногообразия [img: http://localhost:8080/file/010118-48.jpg] сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/010118-49.jpg], составляют полную решетку относительно теоретико-множественного включения. Атомы решетки всех квазпмногообразий сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/010118-50.jpg] наз. минимальными квазимногообразиями сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/010118-51.jpg]. Минимальное квазимногообразие [img: http://localhost:8080/file/010118-52.jpg] порождается любой своей неединичной системой. Каждое квазимногообразие [img: http://localhost:8080/file/010118-53.jpg], обладающее неединичной системой, содержит хотя бы одно минимальное квазнмногообразне. Если [img: http://localhost:8080/file/010118-54.jpg] - квазимногообразие [img: http://localhost:8080/file/010118-55.jpg] -систем конечной сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/010118-56.jpg], то все его подквазимногообразия составляют группоид относительно мальцевского [img: http://localhost:8080/file/010118-57.jpg] -умножения (см. [3]).