Алгебраического многообразия автоморфизм

- обратимый морфизм алгебраич. многообразия (или схемы) в себя. Группа всех А. м. а., обозначаемая обычно [img: http://localhost:8080/file/010118-248.jpg],- важный инвариант многообразия [img: http://localhost:8080/file/010118-249.jpg]. Изучение действий группы А. м. а. на объектах, функторпально связанных с [img: http://localhost:8080/file/010118-250.jpg], таких, как Пикаро. группа, Чжоу кольцо, К-функтор, группа когомологшт, является средством изучения самих многообразий. Группа А. м. а. участвует при образовании форм алгебраич. многообразия. Для полных алгебраич. многообразий над полем комплексных чисел группа А. м. а. совпадает с группой биголоморфньгх автоморфизмов. Для ряда простых алгебраич. многообразий строение группы [img: http://localhost:8080/file/010118-251.jpg] известно. Напр., если Xпроективное n-мерное пространство [img: http://localhost:8080/file/010118-252.jpg] над полем k, то любой его автоморфизм является линейным проективным преобразованием и [img: http://localhost:8080/file/010118-253.jpg] совпадает с проективной линейной группой [img: http://localhost:8080/file/010118-254.jpg]. Группа автоморфизмов эллиптич. кривой и, вообще, любого абелева многообразия [img: http://localhost:8080/file/010118-255.jpg] является расширением группы [img: http://localhost:8080/file/010118-256.jpg] автоморфизмов, сохраняющих структуру абелева многообразия, при помощи группы [img: http://localhost:8080/file/010118-257.jpg] сдвигов на точки многообразия [img: http://localhost:8080/file/010118-258.jpg], т. е. последовательность групп [img: http://localhost:8080/file/010118-259.jpg] точна. Если [img: http://localhost:8080/file/010118-260.jpg] - гладкая полная алгебраич. кривая рода [img: http://localhost:8080/file/010118-261.jpg], то группа [img: http://localhost:8080/file/010118-262.jpg] конечна; известна оценка ее порядка в зависимости от [img: http://localhost:8080/file/010118-263.jpg] (см. Алгебраическая кривая). Об автоморфизмах поверхностей см. Алгебраическая поверхность. Для алгебраич. многообразий с обильным каноиич. или антиканонич. обратимым пучком группа автоморфизмов является алгебраич. подгруппой группы [img: http://localhost:8080/file/010118-264.jpg] для нек-рого [img: http://localhost:8080/file/010118-265.jpg]. Группа автоморфизмов гладкой поверхности размерности [img: http://localhost:8080/file/010118-266.jpg] н степени [img: http://localhost:8080/file/010118-267.jpg] конечна [1]. Во всех приведенных выше примерах [img: http://localhost:8080/file/010118-268.jpg] обладает естественной структурой алгебраич. группы, быть может, с бесконечным числом связных компонент; это верно и в общем случае [2]. Современный подход к изучению группы А. м. а. состоит в рассмотрении семейств автоморфизмов. Семейством автоморфизмов многообразия [img: http://localhost:8080/file/010118-269.jpg] со схемой параметров [img: http://localhost:8080/file/010118-270.jpg] наз. автоморфизм произведения [img: http://localhost:8080/file/010118-271.jpg], перестановочный с проекцией на второй множитель; множество семейств автоморфизмов со схемой параметров [img: http://localhost:8080/file/010118-272.jpg] обозначается [img: http://localhost:8080/file/010118-273.jpg]. Сопоставление [img: http://localhost:8080/file/010118-274.jpg] является контравариантным функтором от Т. Если многообразие Xполное, то этот функтор представим (см. Представимый функтор).локально алгебраич. схемой групп с не более чем счетным числом связных компонент [3]. Для проективных многообразий этот факт был доказан А. Гротендиком (A. Grothendieck); существует обобщение этой теоремы на случай собственных плоских морфизмов схем. Представляющая схема не обязательно является приведенной, даже в случае, когда X - гладкая проективная поверхность; однако, если характеристика основного поля равна 0, либо если X - гладкая кривая или гладкая гиперповерхность, то связная компонента единицы этой схемы является многообразием. Для неполных многообразий функтор автоморфизмов не всегда представим в категории схем. Для аффинного многообразия функтор автоморфизмов представим в категории индуктивных пределов схем. Для аффинных пространств, кроме простого случая аффинной прямой, известна только группа автоморфизмов аффинной плоскости. Она является свободным произведением с объединенным пересечением двух своих подгрупп - подгруппы линейных аффинных преобразований и подгруппы треугольных автоморфизмов, т. е. преобразований вида [img: http://localhost:8080/file/010118-275.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010118-276.jpg] - произвольный многочлен от х(см. [4], [5]). Об аффинных алгебраич. поверхностях, на к-рых группа автоморфизмов действует транзитивно, см. [6].