Алгебраической системы автоморфизм

Ч изоморфное отображение алгебраической системы на себя. Автоморфизмом (А.) [img: http://localhost:8080/file/010119-91.jpg] -системы [img: http://localhost:8080/file/010119-92.jpg] наз. всякое взаимно однозначное отображение [img: http://localhost:8080/file/010119-93.jpg] множества Ана себя, обладающее свойствами: [img: http://localhost:8080/file/010119-94.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010119-95.jpg]. из Аи для всех [img: http://localhost:8080/file/010119-96.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/010119-97.jpg]. Другими словами, А. [img: http://localhost:8080/file/010119-98.jpg] -системы [img: http://localhost:8080/file/010119-99.jpg] есть изоморфное отображение системы [img: http://localhost:8080/file/010119-100.jpg] на себя. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010119-101.jpg] Ч множество всех А. системы [img: http://localhost:8080/file/010119-102.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/010119-103.jpg], то обратное отображение [img: http://localhost:8080/file/010119-104.jpg] также обладает свойствами (1), (2) и поэтому [img: http://localhost:8080/file/010119-105.jpg] Произведение [img: http://localhost:8080/file/010119-106.jpg] А. [img: http://localhost:8080/file/010119-107.jpg] системы [img: http://localhost:8080/file/010119-108.jpg], определяемое формулой [img: http://localhost:8080/file/010119-109.jpg] снова является А. системы [img: http://localhost:8080/file/010119-110.jpg]. Поскольку умножение отображений ассоциативно, то [img: http://localhost:8080/file/010119-111.jpg] есть группа, наз. группой всех A системы [img: http://localhost:8080/file/010119-112.jpg] и обозначаемая через [img: http://localhost:8080/file/010119-113.jpg]. Подгруппы группы [img: http://localhost:8080/file/010119-114.jpg] наз. просто группами А. системы [img: http://localhost:8080/file/010119-115.jpg]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010119-116.jpg] Ч А. системы [img: http://localhost:8080/file/010119-117.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010119-118.jpg] Ч конгруэнция этой системы. Полагая [img: http://localhost:8080/file/010119-119.jpg] получим снова конгруэнцию [img: http://localhost:8080/file/010119-120.jpg] системы [img: http://localhost:8080/file/010119-121.jpg].А. [img: http://localhost:8080/file/010119-122.jpg] наз. IС- автоморфизмом, если [img: http://localhost:8080/file/010119-123.jpg] для любой конгруэнции [img: http://localhost:8080/file/010119-124.jpg] системы [img: http://localhost:8080/file/010119-125.jpg]. Множество [img: http://localhost:8080/file/010119-126.jpg] всех [img: http://localhost:8080/file/010119-127.jpg] автоморфизмов системы [img: http://localhost:8080/file/010119-128.jpg] является нормальным делителем группы [img: http://localhost:8080/file/010119-129.jpg], и факторгруппа [img: http://localhost:8080/file/010119-130.jpg] изоморфна нек-рой группе А. решетки всех конгруэнции системы [img: http://localhost:8080/file/010119-131.jpg]. В частности, всякий внутренний А. [img: http://localhost:8080/file/010119-132.jpg] группы, определяемый к.-л. фиксированным элементом аэтой группы, является IС -автоморфизмом. Однако пример циклич. группы простого норядка показывает, что не всякий IС -автоморфизм группы Ч внутренний. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010119-133.jpg] Ч нетривиальное многообразие [img: http://localhost:8080/file/010119-134.jpg] -систем или к.-л. другой класс [img: http://localhost:8080/file/010119-135.jpg] -систем, обладающий свободными системами любого (ненулевого) ранга. А. [img: http://localhost:8080/file/010119-136.jpg] системы [img: http://localhost:8080/file/010119-137.jpg] из класса [img: http://localhost:8080/file/010119-138.jpg] наз. I-автоморфизмом, если существует терм [img: http://localhost:8080/file/010119-139.jpg] сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/010119-140.jpg] от неизвестных [img: http://localhost:8080/file/010119-141.jpg] для к-рого: 1) в системе [img: http://localhost:8080/file/010119-142.jpg] существуют такие элементы [img: http://localhost:8080/file/010119-143.jpg] что для каждого элемента [img: http://localhost:8080/file/010119-144.jpg] имеет место равенство [img: http://localhost:8080/file/010119-145.jpg] 2) для любой системы [img: http://localhost:8080/file/010119-146.jpg] из класса [img: http://localhost:8080/file/010119-147.jpg] отображение [img: http://localhost:8080/file/010119-148.jpg] является А. этой системы при любом выборе элементов [img: http://localhost:8080/file/010119-149.jpg] в системе [img: http://localhost:8080/file/010119-150.jpg]. Множество [img: http://localhost:8080/file/010119-151.jpg] всех [img: http://localhost:8080/file/010119-152.jpg] -автоморфизмов каждой системы [img: http://localhost:8080/file/010119-153.jpg] из класса [img: http://localhost:8080/file/010119-154.jpg] является нормальным делителем группы [img: http://localhost:8080/file/010119-155.jpg]. В классе [img: http://localhost:8080/file/010119-156.jpg] всех групп понятие [img: http://localhost:8080/file/010119-157.jpg] -автоморфизма совпадает с понятиен внутреннего А. группы [2]. Более общее понятие формульного А. [img: http://localhost:8080/file/010119-158.jpg] -системы см. в [3]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010119-159.jpg] Ч алгебраич. система. Заменяя каждую основную операцию [img: http://localhost:8080/file/010119-160.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010119-161.jpg] предикатом [img: http://localhost:8080/file/010119-162.jpg] получим так наз. модель [img: http://localhost:8080/file/010119-163.jpg], представляющую систему [img: http://localhost:8080/file/010119-164.jpg]. Справедливо равенство [img: http://localhost:8080/file/010119-165.jpg] Если системы [img: http://localhost:8080/file/010119-166.jpg] имеют общий носитель A и [img: http://localhost:8080/file/010119-167.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010119-168.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/010119-169.jpg] система [img: http://localhost:8080/file/010119-170.jpg] с конечным числом порождающих финитно аппроксимируема, то группа [img: http://localhost:8080/file/010119-171.jpg] также финитно аппроксимируема (см. [1], с. 432). Пусть [img: http://localhost:8080/file/010119-172.jpg] Ч класс [img: http://localhost:8080/file/010119-173.jpg] -систем и пусть [img: http://localhost:8080/file/010119-174.jpg] Ч класс всех изоморфных копий групп [img: http://localhost:8080/file/010119-175.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/010119-176.jpg] Ч класс подгрупп групп из класса [img: http://localhost:8080/file/010119-177.jpg]. Класс [img: http://localhost:8080/file/010119-178.jpg] состоит из групп, изоморфно вложимых в группы Aut(A) [img: http://localhost:8080/file/010119-179.jpg]. В исследовании групп А. алгебраич. систем выделились следующие две проблемы. 1) Пусть дан класс [img: http://localhost:8080/file/010119-180.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010119-181.jpg] -систем. Что можно сказать о классах [img: http://localhost:8080/file/010119-182.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010119-183.jpg] ? 2) Пусть дан (абстрактный) класс Кгрупп. Существует ли класс [img: http://localhost:8080/file/010119-184.jpg] -систем [img: http://localhost:8080/file/010119-185.jpg] данной сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/010119-186.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/010119-187.jpg] или хотя бы [img: http://localhost:8080/file/010119-188.jpg] ? Доказано, что для любого аксиоматизируемого класса [img: http://localhost:8080/file/010119-189.jpg] моделей класс групп [img: http://localhost:8080/file/010119-190.jpg] универсально аксиоматизируем [1]. Доказано также [1], [4], что если [img: http://localhost:8080/file/010119-191.jpg] Ч аксиоматизируемый класс моделей, имеющий бесконечные модели, [img: http://localhost:8080/file/010119-192.jpg] Ч линейно упорядоченное множество и [img: http://localhost:8080/file/010119-193.jpg] Ч группа А. модели [img: http://localhost:8080/file/010119-194.jpg], то существует модель [img: http://localhost:8080/file/010119-195.jpg] такая, что [img: http://localhost:8080/file/010119-196.jpg] и для каждого элемента [img: http://localhost:8080/file/010119-197.jpg] существует А. [img: http://localhost:8080/file/010119-198.jpg] системы [img: http://localhost:8080/file/010119-199.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/010119-200.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010119-201.jpg]. Группа Gназ.: 1) универсальной, если [img: http://localhost:8080/file/010119-202.jpg] для любого аксиоматизируемого класса,fi моделей, обладающего бесконечными моделями; [img: http://localhost:8080/file/010119-185.jpg] 2) группой порядковых А. упорядочиваемой группы [img: http://localhost:8080/file/010119-203.jpg] (см. Линейно упорядоченная группа), если [img: http://localhost:8080/file/010119-204.jpg] изоморфна нек-рой группе А. группы [img: http://localhost:8080/file/010119-205.jpg], сохраняющих фиксированный линейный порядок [img: http://localhost:8080/file/010119-206.jpg] этой группы (т. е. [img: http://localhost:8080/file/010119-207.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010119-208.jpg]). Пусть [img: http://localhost:8080/file/010119-209.jpg] Ч класс линейно упорядоченных множеств [img: http://localhost:8080/file/010119-210.jpg] Ч класс универсальных групп, [img: http://localhost:8080/file/010119-211.jpg] Ч класс правоупорядочиваемых групп, [img: http://localhost:8080/file/010119-212.jpg] Ч класс групп порядковых А. свободных абелевых групп. Тогда (см. [4] - [6]): [img: http://localhost:8080/file/010119-213.jpg] Каждая группа изоморфна группе всех А. нек-рой [img: http://localhost:8080/file/010119-214.jpg] Ч алгебры. Если [img: http://localhost:8080/file/010119-215.jpg] Ч класс всех колец, то [img: http://localhost:8080/file/010119-216.jpg] Ч класс всех групп (см. [1], с. 117, 118). Но если [img: http://localhost:8080/file/010119-217.jpg] Ч класс всех групп, то [img: http://localhost:8080/file/010119-218.jpg] напр., циклич. группы [img: http://localhost:8080/file/010119-219.jpg] порядков 3, 5, 7, соответственно, не принадлежат классу [img: http://localhost:8080/file/010119-220.jpg]. Не существует также тоиологич. группы, для к-рой группа всех топологич. А. была бы изоморфна группе [img: http://localhost:8080/file/010119-221.jpg] (см. [7]).