Александера двойственность

связь между гомологич. свойствами взаимно дополнительных подмножеств топологич. пространства, к-рая позволяет гомологич. свойства множества определять нек-рымн свойствами его дополнения. Первые теоремы такого рода были сформулированы в терминах не алгебраической, а теоретико-множественной топологии. В 1892 К. Жор-даном (С. Jordan) было доказано, что простая замкнутая непрерывная кривая разбивает плоскость на две области и является их общей границей (теорема Жордана). Эта теорема была (1911) независимо обобщена А. Лебегом (Н. Lebesgue) и Л. Э. Я. Брауэром (L. rЕ. J. Brouwer) на случай n-мерного многообразия, лежащего в n+1-мерном сферическом (или евклидовом) пространстве; при этом была установлена связь между указанным фактом и свойством r-мерного многообразия (в n-мерном пространстве) быть зацепленным с (п - r-1)-мерным многообразием (А. Лебег). В 1913 Л. Э. Я. Брауэр показал, что число областей, на к-рые плоское замкнутое множество разбивает плоскость, зависит лишь от топологич. свойств этого множества. В 1922 Дж. Александер [1] впервые выразил двойственность этого рода в чисто гомологич. понятиях. Теорема Александера (см. [2], [3], [4]) утверждает, что г-мерное число Бетти mod 2 (конечного) полиэдра Ф, лежащего в n-мерном сферич. пространстве, равно (п - r -1)-мерному числу Бетти mod 2 его дополнения. П. С. Александровым (1927) эта теорема была обобщена на случай любого замкнутого множества Ф. Двойственность, сформулированная в этой теореме, наз. двойственностью Александера. Следующим важным этапом в развитии этого рода двойственности была теорема Понтрягина (1934) (см. [2], [3], [4]), утверждающая, что г-мерная гомологии группа [img: http://localhost:8080/file/010122-51.jpg] замкнутого множества А, расположенного в n-мерном сферич. многообразии [img: http://localhost:8080/file/010122-52.jpg] над компактной группой Xкоэффициентов, и [img: http://localhost:8080/file/010122-53.jpg] мерная группа гомологии [img: http://localhost:8080/file/010122-54.jpg] дополнения [img: http://localhost:8080/file/010122-55.jpg] над (дискретной) группой У коэффициентов, двойственной с Xв смысле теории характеров, двойственны в том же смысле, причем скалярное произведение определяется как коэффициент зацепления циклов, произвольно выбранных из перемножаемых классов гомологии. Эта теорема обычно наз. теоремой Александера- Понтрягина; двойственность, формулируемая в ней, наз. двойственностью Понтрягина, или двойственностью Александера- Понтрягина (см. Понтрягина двойственность). Ряд последующих обобщений завершился теоремой П. С. Александрова (см. [5], [7]), формулировка к-рой отличается от теоремы Понтрягпна тем, что Аможет быть произвольным подмножеством из [img: http://localhost:8080/file/010122-56.jpg], группа Xможет быть как компактной, так и дискретной, а под [img: http://localhost:8080/file/010122-57.jpg] понимаются группы гомологии Александрова - Чеха (см. Александрова - Чеха гомологии и когомологии), причем одна - с компактными носителями, а другая - спектро-вого типа. Формы А. д. для любых множеств получаются заменой последних групп двойственными им группами когомологии той же размерности над двойственной группой коэффициентов. В дальнейших обобщениях сферич. многообразия заменяются более общими многообразиями (гомологическими многообразиями, к-рые ацикличны в определенных размерностях), группы Александрова - Чеха - группами Ситникова - Стинрода и др., группы коэффициентов - модулями, пучками и т. п.