Александера инварианты

инварианты, связанные с модульной структурой одномерных гомологии многообразия [img: http://localhost:8080/file/010122-58.jpg], на к-ром свободно действует свободная абелева группа [img: http://localhost:8080/file/010122-59.jpg] ранга ас фиксированной системой образующих [img: http://localhost:8080/file/010122-60.jpg] Проекция многообразия [img: http://localhost:8080/file/010122-61.jpg] на пространство орбит М является накрытием, отвечающим ядру [img: http://localhost:8080/file/010122-62.jpg] гомоморфизма [img: http://localhost:8080/file/010122-63.jpg] фундаментальной группы [img: http://localhost:8080/file/010122-64.jpg] многообразия М. Так как [img: http://localhost:8080/file/010122-65.jpg] то группа [img: http://localhost:8080/file/010122-66.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010122-67.jpg] - коммутант ядра [img: http://localhost:8080/file/010122-68.jpg], изоморфна одномерной группе гомологии [img: http://localhost:8080/file/010122-69.jpg]. При этом расширение [img: http://localhost:8080/file/010122-70.jpg] порождает расширение (*): [img: http://localhost:8080/file/010122-71.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010122-72.jpg] к-рое определяет на [img: http://localhost:8080/file/010122-73.jpg] модульную структуру над целочисленным групповым кольцом [img: http://localhost:8080/file/010122-74.jpg] группы [img: http://localhost:8080/file/010122-75.jpg] (см. Групповая алгебра). Та же самая структура индуцируется в [img: http://localhost:8080/file/010122-76.jpg] данным действием [img: http://localhost:8080/file/010122-77.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/010122-78.jpg]. Фиксация образующих [img: http://localhost:8080/file/010122-79.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010122-80.jpg] отождествляет [img: http://localhost:8080/file/010122-81.jpg] с кольцом [img: http://localhost:8080/file/010122-82.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010122-83.jpg] лорановых многочленов от переменных ti. Расширение [img: http://localhost:8080/file/010122-84.jpg] чисто алгебраически определяет и определено модульным расширением [img: http://localhost:8080/file/010122-85.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010122-86.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010122-87.jpg] (см. [5]). Здесь [img: http://localhost:8080/file/010122-88.jpg] - ядро гомоморфизма е: [img: http://localhost:8080/file/010122-89.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/010122-90.jpg] =1). Модуль [img: http://localhost:8080/file/010122-91.jpg] наз. модулем Александера накрытия [img: http://localhost:8080/file/010122-92.jpg]. В случае (рассмотренном впервые Дж. Александером [1]), в к-ром [img: http://localhost:8080/file/010122-93.jpg] - дополнительное пространство нек-рого зацепления kкратности и. в трехмерной сфере [img: http://localhost:8080/file/010122-94.jpg], а накрытие отвечает гомоморфизму коммутирования [img: http://localhost:8080/file/010122-95.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010122-96.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010122-97.jpg] группы зацепления, - [img: http://localhost:8080/file/010122-98.jpg] наз. модулем Александера зацепления k. Основные свойства G, существенные для дальнейшего: [img: http://localhost:8080/file/010122-99.jpg] - свободная абелева группа, дефект группы Gравен 1, G имеет непредставление [img: http://localhost:8080/file/010122-100.jpg] для к-рого [img: http://localhost:8080/file/010122-101.jpg] (см. Узлов и зацеплений диаграммы). В случае зацеплений образующие [img: http://localhost:8080/file/010122-102.jpg] отвечают меридианам компонент [img: http://localhost:8080/file/010122-103.jpg] и фиксируются ориентацией этих компонент и сферы. Обычно Месть дополнительное пространство М(k).зацепления k, состоящего из [img: http://localhost:8080/file/010122-104.jpg] (п-2)-мерных сфер [img: http://localhost:8080/file/010122-105.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010122-106.jpg]. Кроме гомоморфизма [img: http://localhost:8080/file/010122-107.jpg] рассматривается гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010122-108.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010122-109.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010122-110.jpg] равно сумме коэффициентов зацепления петли, представляющей [img: http://localhost:8080/file/010122-111.jpg], со всеми [img: http://localhost:8080/file/010122-112.jpg]. Матрица [img: http://localhost:8080/file/010122-113.jpg] модульных соотношений модуля А а наз. матрицей Алексапдера накрытия, а в случае зацеплений - матрицей Александера зацепления. Она может быть получена как матрица [img: http://localhost:8080/file/010122-114.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010122-115.jpg] - копредставление группы G. При [img: http://localhost:8080/file/010122-116.jpg] матрица [img: http://localhost:8080/file/010122-117.jpg] модульных соотношений для [img: http://localhost:8080/file/010122-118.jpg] получается из [img: http://localhost:8080/file/010122-119.jpg] отбрасыванием столбца из нулей. Матрицы [img: http://localhost:8080/file/010122-120.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010122-121.jpg] определены модулями [img: http://localhost:8080/file/010122-122.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010122-123.jpg] лишь с точностью до преобразований, отвечающих переходам к другим копредставлениям модуля. Однако с их помощью вычисляется ряд инвариантов модуля. Идеала м и Александера наз. идеалы модуля А а, т. е. ряд идеалов [img: http://localhost:8080/file/010122-124.jpg] кольца [img: http://localhost:8080/file/010122-125.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010122-126.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010122-127.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010122-128.jpg] порождается минорами матрицы [img: http://localhost:8080/file/010122-129.jpg] порядка [img: http://localhost:8080/file/010122-130.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/010122-131.jpg]. Употребляется и противоположный порядок нумерации. Так как [img: http://localhost:8080/file/010122-132.jpg] - гауссово кольцо и нётерово кольцо, то каждый идеал [img: http://localhost:8080/file/010122-133.jpg] лежит в минимальном главном идеале [img: http://localhost:8080/file/010122-134.jpg] его образующая [img: http://localhost:8080/file/010122-135.jpg] определена с точностью до делителей единицы [img: http://localhost:8080/file/010122-136.jpg]. Лоранов многочлен [img: http://localhost:8080/file/010122-137.jpg] наз. i - м многочленом Александера, а [img: http://localhost:8080/file/010122-138.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010122-139.jpg] - просто многочленом Александера зацепления [img: http://localhost:8080/file/010122-140.jpg] (или накрытия [img: http://localhost:8080/file/010122-141.jpg]). Если [img: http://localhost:8080/file/010122-142.jpg] то он домножается на [img: http://localhost:8080/file/010122-143.jpg] так, чтобы [img: http://localhost:8080/file/010122-144.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010122-145.jpg] Гомоморфизму [img: http://localhost:8080/file/010122-146.jpg] отвечает модуль А, идеалы [img: http://localhost:8080/file/010123-1.jpg] и полиномы [img: http://localhost:8080/file/010123-2.jpg], к-рые наз., соответственно, приведенным модулем Александера, приведенными идеалами Александера и приведенными многочленами Александера зацепления k(или накрытия [img: http://localhost:8080/file/010123-3.jpg] -v [img: http://localhost:8080/file/010123-4.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/010123-5.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010123-6.jpg] получается из [img: http://localhost:8080/file/010123-7.jpg] заменой всех [img: http://localhost:8080/file/010123-8.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/010123-9.jpg]. При [img: http://localhost:8080/file/010123-10.jpg] делится на [img: http://localhost:8080/file/010123-11.jpg] Полином [img: http://localhost:8080/file/010123-12.jpg] наз. полиномом Хосокавы [4]. Модульные свойства (К).изучены в [4], [8], [10]. Случай зацеплений исследован мало. Для [img: http://localhost:8080/file/010123-13.jpg] группа [img: http://localhost:8080/file/010123-14.jpg] конечно порождена над любым кольцом R, содержащим Z, в к-ром [img: http://localhost:8080/file/010123-15.jpg] обратим [7], в частности, над полем рациональных чисел, а если [img: http://localhost:8080/file/010123-16.jpg] то над Z. В этом случае [img: http://localhost:8080/file/010123-17.jpg] - характеристич. многочлен преобразования [img: http://localhost:8080/file/010123-18.jpg] Степень [img: http://localhost:8080/file/010123-19.jpg] равна рангу [img: http://localhost:8080/file/010123-20.jpg] в частности, [img: http://localhost:8080/file/010123-21.jpg] в том и только том случае, когда [img: http://localhost:8080/file/010123-22.jpg] При n= 3 идеалы зацепления обладают следующим свойством симметрии: [img: http://localhost:8080/file/010123-23.jpg] где черта означает взятие образа при автоморфизме, порожденном заменой всех [img: http://localhost:8080/file/010123-24.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/010123-25.jpg] Отсюда вытекает, что [img: http://localhost:8080/file/010123-26.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/010123-27.jpg] для нек-рых целых [img: http://localhost:8080/file/010123-28.jpg]. Эта симметрия является следствием двойственности Фок-са - Троттера для групп узлов и зацеплений. Она может быть выведена также из Пуанкаре двойственности для многообразия [img: http://localhost:8080/file/010123-29.jpg] с учетом свободного действия [img: http://localhost:8080/file/010123-30.jpg] (см. [3]). Если [img: http://localhost:8080/file/010123-31.jpg] то над полем дробей [img: http://localhost:8080/file/010123-32.jpg] кольца [img: http://localhost:8080/file/010123-33.jpg] цепной комплекс [img: http://localhost:8080/file/010123-34.jpg] ацикличен ([img: http://localhost:8080/file/010123-35.jpg] = 3). Следовательно, определено Рейдемейстера кручение [img: http://localhost:8080/file/010123-36.jpg] отвечающее вложению [img: http://localhost:8080/file/010123-37.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010123-38.jpg] - группа единиц [img: http://localhost:8080/file/010123-39.jpg]. Для [img: http://localhost:8080/file/010123-40.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/010123-41.jpg] (с точностью до единиц [img: http://localhost:8080/file/010123-42.jpg]). Симметрия [img: http://localhost:8080/file/010123-43.jpg] для n=3 является следствием симметрии [img: http://localhost:8080/file/010123-44.jpg]. В случае [img: http://localhost:8080/file/010123-45.jpg] из симметрии [img: http://localhost:8080/file/010123-46.jpg] и свойства [img: http://localhost:8080/file/010123-47.jpg] вытекает четность степени [img: http://localhost:8080/file/010123-48.jpg]. Степень [img: http://localhost:8080/file/010123-49.jpg] также четна [4]. Свойства многочленов узлов [img: http://localhost:8080/file/010123-50.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010123-51.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010123-52.jpg] делит [img: http://localhost:8080/file/010123-53.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010123-54.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/010123-55.jpg], превосходящих нек-рое N, являются характеристическими, т. е. для каждого набора [img: http://localhost:8080/file/010123-56.jpg] с этими свойствами существует узел [img: http://localhost:8080/file/010123-57.jpg], для к-рого они служат многочленами Александера. Полиномы Хосокавы [4] характеризуются свойством [img: http://localhost:8080/file/010123-58.jpg] при любом [img: http://localhost:8080/file/010123-59.jpg]; полиномы [img: http://localhost:8080/file/010123-60.jpg] двумерных узлов - свойством [img: http://localhost:8080/file/010123-61.jpg] А. п., в первую очередь многочлены, являются мощным средством различения узлов и зацеплений. Напр., среди узлов из таблицы с менее чем девятью двойными точками А! не различает только три пары (см. Узлов таблица). См. также Узлов теория, Альтернирующие узлы и зацепления.