Альтернативные кольца и алгебры

Альтернативным кольцом (А. к.) наз. кольцо, в к-ром каждые два элемента порождают ассоциативное подкольцо; альтернативной алгеброй (А. а.) наз. линейная алгебра, являющаяся А. к. Согласно теореме Артина класс всех А. к. задается системой тождеств: [img: http://localhost:8080/file/010123-157.jpg] Таким образом, все А. к. составляют многообразие. Термин "А. к." оправдан тем, что в любом таком кольце ассоциатор (дефект ассоциативности) [img: http://localhost:8080/file/010123-158.jpg] является кососимметрической (альтернативной) функцией своих аргументов. Первым примером А. к. явились Кэли числа, дающие пример альтернативного тела, т. е. А. к. с единицей, в к-ром однозначно разрешимы уравнения ах=b и уа=b для всех bи всех [img: http://localhost:8080/file/010123-159.jpg]. Альтернативные тела играют существенную роль в теории проективных плоскостей, поскольку проективная плоскость муфангова (т. е. плоскость трансляций относительно любой прямой) тогда и только тогда, когда любое координатизирующее ее тернарное кольцо является альтернативным телом. Если в кольце Rс единицей каждый элемент обратим, и для любых [img: http://localhost:8080/file/010123-160.jpg] выполняется тождество [img: http://localhost:8080/file/010123-161.jpg] (или тождество [img: http://localhost:8080/file/010123-162.jpg] то Rявляется альтернативным телом. Всякое альтернативное тело либо ассоциативно, либо имеет строение Кали - Диксона алгебры, над своим центром. Всякое простое А. к. также либо ассоциативно, либо является алгеброй Кэли - Диксона над своим центром (последняя в этом случае не обязана уже быть телом). Алгебрами Кэли - Диксона исчерпываются за пределами ассоциативных и все примитивные А. к. Всякое первичное А. к. Л, если [img: http://localhost:8080/file/010123-163.jpg] либо ассоциативно, либо является кольцом Кэлн - Диксона. Многие свойства А. к. весьма сильно отличаются от свойств ассоциативного кольца в аналогичных ситуациях. Так, если Rесть А. к., а Аи В - его правые идеалы, то их произведение А В уже не обязано быть правым идеалом, даже если А - двусторонний идеал в R; но произведение двусторонних идеалов А. к. является его двусторонним идеалом. Различие в случае ассоциативных колец и А. к. сильно проявляется и в том, что в А. к. существуют различные нильпотентности, поскольку произведение элементов, при одной расстановке скобок равное 0, при другой - может быть отлично от 0. Обычно в А. к. используются следующие нильпотентности: разрешимость (кольцо Rназ. разрешимы м индекса т, если существует такое число т, что [img: http://localhost:8080/file/010123-164.jpg]),правая нильпотентность (существует такое число п, что [img: http://localhost:8080/file/010123-165.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010123-166.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010123-167.jpg] и нильпотентность (существует такое число k, что [img: http://localhost:8080/file/010123-168.jpg] т. е. произведение любых kэлементов Rравно 0 при любой расстановке скобок). Имеется А. к. разрешимое индекса 3, но не нильпотентное. Правая нильпотентность в А. к. эквивалентна нильпотентности (А. к., правонильпотентное индекса n, нильпотентно индекса [img: http://localhost:8080/file/010123-169.jpg] Локально, т. е. на конечно порожденных кольцах, все нильпотентности эквивалентны. Теория, устанавливающая достаточные признаки локальной нильпотентности А. к., вполне параллельна соответствующей теории для ассоциативных колец. Это вытекает из следующего факта: пусть Rесть А. к., в к-ром можно выбрать такую систему Sпорождающих, что любые два элемента из Sпорождают нилькольцо; пусть, далее, все ассоциативные гомоморфные образы Rлокально нпль-потентны, тогда R локально нильпотентно. Поэтому если R есть А. к. с тождеством [img: http://localhost:8080/file/010123-170.jpg] то R локально нильпотентно; если R есть А. а. с тождеством, к-рое не является следствием ассоциативности, и каждый элемент R есть сумма конечного числа нильэлементов, то алгебра R локально нильпотентна. Если речь идет не о локальной, а о глобальной нильпотентности, то ситуация в А. к. отличается от ассоциативной. Так, уже А. к. R с тождеством [img: http://localhost:8080/file/010123-171.jpg] не обязано быть нильпотентным (даже если его аддитивная группа без кручения). Однако А. к. с тождеством [img: http://localhost:8080/file/010123-172.jpg] и без элементов порядка [img: http://localhost:8080/file/010123-173.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010123-174.jpg] в аддитивной группе разрешимо индекса Если R - алгебраич. А. а. с тождественным соотношением, не являющимся следствием ассоциативности (или степени алгебраичности элементов R ограничены в совокупности), то R локально конечномерна. В А. к. имеется аналог Джекобсона радикала:во всяком А. к. R существует максимальный квазирегулярный идеал [img: http://localhost:8080/file/010123-175.jpg] равный пересечению всех модулярных максимальных правых идеалов. Факторкольцо [img: http://localhost:8080/file/010123-176.jpg] является J-полупростым, т. е. J(R/J(R))=0; если I есть идеал [img: http://localhost:8080/file/010123-177.jpg] всякое I-полупростое кольцо аппроксимируется примитивными А. к. (т. е. примитивными ассоциативными кольцами и алгебрами Кэли - Диксона). Имеются аналоги и всех других ассоциативных радикалов (нижнего нильрадикала, локально нильпотентного радикала и т. д.), к-рые обладают теми же основными свойствами, что и в ассоциативных кольцах. Вартиновом А. к. (то есть в А. к., удовлетворяющем условию минимальности для правых идеалов) R радикал J(R) нильпотентен, нильпотентен и всякий нильподгруппоид мультипликативного группоида R. Кольцо R является артиновым А. к. без нильпотентных идеалов тогда и только тогда, когда R раскладывается в прямую сумму конечного числа полных матричных алгебр (над нек-рыми ассоциативными телами) и алгебр Кэли - Диксона; такое разложение для каждого R единственно с точностью до перенумерации слагаемых. Если R есть А. к., I - его идеал и R удовлетворяет условию минимальности для двусторонних идеалов, содержащихся в I, то I нильпотентен тогда и только тогда, когда для любого гомоморфизма j кольца R в [img: http://localhost:8080/file/010123-178.jpg] нет идеалов кольца [img: http://localhost:8080/file/010123-179.jpg], которые являются простыми кольцами. В А. к. R различаются ассоциативный центр [img: http://localhost:8080/file/010123-180.jpg] коммутативный центр [img: http://localhost:8080/file/010123-181.jpg] и центр [img: http://localhost:8080/file/010123-182.jpg] Если в аддитивной группе R нет элементов порядка 3, то [img: http://localhost:8080/file/010123-183.jpg] Однако над полем характеристики 3 существуют коммутативные неассоциативные А. а. В первичном А. к. R всегда [img: http://localhost:8080/file/010123-184.jpg] В любом А. к. R всегда [img: http://localhost:8080/file/010123-185.jpg] Пусть в А. к. R нет нетривиальных идеалов, тогда: 1) либо [img: http://localhost:8080/file/010123-186.jpg] либо [img: http://localhost:8080/file/010123-187.jpg] 2) либо [img: http://localhost:8080/file/010123-188.jpg] либо [img: http://localhost:8080/file/010123-189.jpg] 3) если А - правый идеал R, то [img: http://localhost:8080/file/010123-190.jpg] В то же время над любым полем Fможно построить такое А. к. К с тривиальными идеалами, что [img: http://localhost:8080/file/010123-191.jpg] но [img: http://localhost:8080/file/010123-192.jpg] являясь идеалом К, будет ассоциативно коммутативным кольцом, т. е. [img: http://localhost:8080/file/010123-193.jpg] Из тождеств, выполняющихся в А. к., наиболее известны следующие: [img: http://localhost:8080/file/010123-194.jpg] (тождества Муфанг); [img: http://localhost:8080/file/010123-195.jpg] В А. к. с 3 образующими выполняется, кроме того, тождество: [img: http://localhost:8080/file/010123-196.jpg] В А. к. с более чем 3 образующими тождество (*), вообще говоря, не выполняется, более того, в этих А. к., вообще говоря, [img: http://localhost:8080/file/010123-197.jpg] Во всяком А. к. без локально нильпотентных идеалов тождество (*) выполнено, т. к. такое А. к. аппроксимируется первичными ассоциативными кольцами и кольцами Кэли - Диксона. Во всяком свободном А. к. Rимеется ненулевой идеал U(R), содержащийся в ассоциативном центре N(R). Свободное А. к. с 3 или более образующими не только содержит делители нуля, но и не является первичным. Свободное А. к. с 4 или более образующими содержит даже тривиальные идеалы и поэтому не аппроксимируется первичными кольцами.