Аналитическая функция абстрактная

аналитическое отображение банаховых пространств,- функция [img: http://localhost:8080/file/010127-6.jpg] действующая из нек-рой области Dбанахова пространства Xв банахово пространство Y и дифференцируемая по Фреше всюду в D, т. е. такая, что для каждой точки [img: http://localhost:8080/file/010127-7.jpg] существует ограниченный линейный оператор [img: http://localhost:8080/file/010127-8.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/010127-9.jpg], для к-рого выполняется соотношение: [img: http://localhost:8080/file/010127-10.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010127-11.jpg] обозначает норму в [img: http://localhost:8080/file/010127-12.jpg]; [img: http://localhost:8080/file/010127-13.jpg] наз. дифференциалом Фреше функции f в точке а. Другой подход к понятию А. ф. а. возникает из дифференцируемости по Гато. Функция f(x).из Dв Yназ. слабо аналитической в D, илп дифференцируемой по Гато в D, если для каждого линейного непрерывного функционала у' над пространством Yи каждого элемента [img: http://localhost:8080/file/010127-14.jpg] комплексная функция [img: http://localhost:8080/file/010127-15.jpg] является голоморфной функцией комплексного переменного [img: http://localhost:8080/file/010127-16.jpg] в круге [img: http://localhost:8080/file/010127-17.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010127-18.jpg] Всякая А. ф. а. в области Dнепрерывна и слабо аналитична в D. Обратное также верно, причем условие непрерывности можно заменить локальной ограниченностью или непрерывностью по Бэру. Термин "А. ф. а." иногда используется в более узком смысле, когда под ним понимается функция [img: http://localhost:8080/file/010127-19.jpg] комплексного переменного [img: http://localhost:8080/file/010127-20.jpg] со значениями в банаховом или даже линейном локально выпуклом топологич. пространстве Y. В этом случае всякая слабо аналитич. функция [img: http://localhost:8080/file/010127-21.jpg] в области Dплоскости комплексного переменного [img: http://localhost:8080/file/010127-22.jpg] является А. ф. а. Можно также сказать, что функция [img: http://localhost:8080/file/010127-23.jpg] будет А. ф. а. в области [img: http://localhost:8080/file/010127-24.jpg] тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/010127-25.jpg] непрерывна в [img: http://localhost:8080/file/010127-26.jpg] и для любого простого замкнутого спрямляемого контура [img: http://localhost:8080/file/010127-27.jpg] интеграл [img: http://localhost:8080/file/010127-28.jpg] обращается в нуль. Для А. ф. а. [img: http://localhost:8080/file/010127-29.jpg] комплексного переменного z справедлива интегральная формула Кошп (см. Коши интеграл). Пусть [img: http://localhost:8080/file/010127-30.jpg] - слабо аналитич. функция в области Dбанахова пространства X. Тогда [img: http://localhost:8080/file/010127-31.jpg], как функция комплексного переменного [img: http://localhost:8080/file/010127-32.jpg], имеет производные всех порядков в области [img: http://localhost:8080/file/010127-33.jpg] причем эти производные суть А. ф. а. из D в Y. Если множество [img: http://localhost:8080/file/010127-34.jpg] принадлежит D, то [img: http://localhost:8080/file/010127-35.jpg] где ряд сходится по норме и [img: http://localhost:8080/file/010127-36.jpg] Функция у=Р (х).из Xв Yназ. полиномом относительно переменного хстепени не выше т, если для всех [img: http://localhost:8080/file/010127-37.jpg] и для всех комплексных [img: http://localhost:8080/file/010127-38.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010127-39.jpg] где функции [img: http://localhost:8080/file/010127-40.jpg] не зависят от [img: http://localhost:8080/file/010127-41.jpg]. Степень [img: http://localhost:8080/file/010127-42.jpg] точно равна т, если [img: http://localhost:8080/file/010127-43.jpg] Степенным рядом наз. ряд вида [img: http://localhost:8080/file/010127-44.jpg] - однородные полиномы степени птакие, что [img: http://localhost:8080/file/010127-45.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/010127-46.jpg] для всех комплексных [img: http://localhost:8080/file/010127-47.jpg]. Всякий слабо сходящийся степенной ряд [img: http://localhost:8080/file/010127-48.jpg] в области Dсходится и по норме к нек-рой слабо аналитической функции [img: http://localhost:8080/file/010127-49.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/010127-50.jpg]. Функция [img: http://localhost:8080/file/010127-51.jpg] является А. ф. а. в Dтогда и только тогда, когда в окрестности каждой точки [img: http://localhost:8080/file/010127-52.jpg] она разлагается в степенной [img: http://localhost:8080/file/010127-53.jpg] ряд где все [img: http://localhost:8080/file/010127-54.jpg] непрерывны в X. На А. ф. а. переносятся с соответственными изменениями многие основные результаты классич. теории аналитич. функций такие, как максимума модуля принцип, теоремы единственности, Витали теорема, Лиувил. Понятие А. ф. а. обобщается и на более широкие классы пространств Xи Y, напр, на локально выпуклые топологич. пространства, банаховы пространства над произвольным полным нормированным полем и т.