Аналитическое продолжение

функции- доопределение функции f0, определенной на нек-ром подмножестве Екомплексного многообразия М, до функции f, голоморфной в нек-рой области [img: http://localhost:8080/file/010128-4.jpg], содержащей Е, такое, что сужение [img: http://localhost:8080/file/010128-5.jpg] функции f на Есовпадает с [img: http://localhost:8080/file/010128-6.jpg]. Отправным в теории А. п. является понятие (аналитического) элемента, т. е. пары [img: http://localhost:8080/file/010128-7.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010128-8.jpg] - область на Ми f - голоморфная в Dфункция. Говорят, что элементы [img: http://localhost:8080/file/010128-9.jpg] составляют непосредственное А. п. друг друга через связную компоненту [img: http://localhost:8080/file/010128-10.jpg] множества [img: http://localhost:8080/file/010128-11.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/010128-12.jpg] Элемент [img: http://localhost:8080/file/010128-13.jpg], по определению, аналитически продолжается в граничную точку [img: http://localhost:8080/file/010128-14.jpg] если существует непосредственное_А. п. [img: http://localhost:8080/file/010128-15.jpg] элемента [img: http://localhost:8080/file/010128-16.jpg] через [img: http://localhost:8080/file/010128-17.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/010128-18.jpg] Максимальным (в М).А. п. [img: http://localhost:8080/file/010128-19.jpg] наз. элемент (D,/), аналитически продолжающий [img: http://localhost:8080/file/010128-20.jpg] в область [img: http://localhost:8080/file/010128-21.jpg] но не продолжаемый аналитически ни в одну граничную точку D. Максимальное А. п. [img: http://localhost:8080/file/010128-22.jpg] в Мединственно, но не всегда существует. Для устранения этого недостатка вводятся области наложения над М(римановы поверхности в случае [img: http://localhost:8080/file/010128-23.jpg]), к-рые строятся из элементов, аналитически продолжающих [img: http://localhost:8080/file/010128-24.jpg] Элемент [img: http://localhost:8080/file/010128-25.jpg] наз. А. п. элемента [img: http://localhost:8080/file/010128-26.jpg], если существует конечный набор элементов [img: http://localhost:8080/file/010128-27.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010128-28.jpg] и связных компонент А,- соответственно в [img: http://localhost:8080/file/010128-29.jpg] таких, что [img: http://localhost:8080/file/010128-30.jpg] являются непосредственными А. п. друг друга через Д,-. Говорят, что голоморфная функция [img: http://localhost:8080/file/010128-31.jpg], определенная первоначально в области [img: http://localhost:8080/file/010128-32.jpg], аналитически продолжается в точку [img: http://localhost:8080/file/010128-33.jpg], если существует А. п. [img: http://localhost:8080/file/010128-34.jpg] элемента [img: http://localhost:8080/file/010128-35.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/010128-36.jpg]. Среди элементов, продолжающих [img: http://localhost:8080/file/010128-37.jpg] в точку z, вводится отношение эквивалентности: [img: http://localhost:8080/file/010128-38.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/010128-39.jpg] в окрестности z. На Множестве классов эквивалентности [img: http://localhost:8080/file/010128-40.jpg] (для всех возможных z) естественно вводится топология и комплексная структура области наложения над М. Функция [img: http://localhost:8080/file/010128-41.jpg] естественно поднимается в [img: http://localhost:8080/file/010128-42.jpg] (значение на классе эквивалентности в z, содержащем [img: http://localhost:8080/file/010128-43.jpg], полагаем равным [img: http://localhost:8080/file/010128-44.jpg]), аналитически продолжается на всю D f и в определенном смысле не продолжается ни в одну граничную точку [img: http://localhost:8080/file/010128-45.jpg] над [img: http://localhost:8080/file/010128-46.jpg]. В случае, когда [img: http://localhost:8080/file/010128-47.jpg] есть комплексная плоскость [img: http://localhost:8080/file/010128-48.jpg] или, более общо, комплексное пространство [img: http://localhost:8080/file/010128-49.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010128-50.jpg], этот процесс А. п. описывается проще. Каноническим элементом наз. пара [img: http://localhost:8080/file/010128-51.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010128-52.jpg] - степенной ряд с центром в точке ас непустой областью сходимости Da. Канонич. элемент [img: http://localhost:8080/file/010128-53.jpg] вдоль пути [img: http://localhost:8080/file/010128-54.jpg] если существует семейство канонич. элементов [img: http://localhost:8080/file/010128-55.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010128-56.jpg], с центрами [img: http://localhost:8080/file/010128-57.jpg] таких, что [img: http://localhost:8080/file/010128-58.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010128-59.jpg] и для каждого [img: http://localhost:8080/file/010128-60.jpg] элементы [img: http://localhost:8080/file/010128-61.jpg] являются непосредственными А. п. [img: http://localhost:8080/file/010128-62.jpg] для всех t, достаточно близких к [img: http://localhost:8080/file/010128-63.jpg]. Семейство [img: http://localhost:8080/file/010128-64.jpg] на самом деле определяется однозначно. Если [img: http://localhost:8080/file/010128-65.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010128-66.jpg], есть непрерывное семейство путей в [img: http://localhost:8080/file/010128-67.jpg] с общими концами аи b и если [img: http://localhost:8080/file/010128-68.jpg] аналитически продолжается вдоль каждого [img: http://localhost:8080/file/010128-69.jpg], то результат [img: http://localhost:8080/file/010128-70.jpg] не зависит от [img: http://localhost:8080/file/010128-71.jpg] (монодромии теорема). Точками [img: http://localhost:8080/file/010128-72.jpg] в случае [img: http://localhost:8080/file/010128-73.jpg] являются канонич. элементы [img: http://localhost:8080/file/010128-74.jpg] получаемые посредством А. п. вдоль всевозможных путей в [img: http://localhost:8080/file/010128-75.jpg]; [img: http://localhost:8080/file/010128-76.jpg] поднимается в [img: http://localhost:8080/file/010128-77.jpg] аналитически на всю до голоморфной функции [img: http://localhost:8080/file/010128-78.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/010128-79.jpg] есть область [img: http://localhost:8080/file/010128-80.jpg] голоморфности [img: http://localhost:8080/file/010128-81.jpg]. Описанный общий процесс А. п. практически малоэффективен, поэтому в анализе используется много специальных методов А. п. Сюда относятся различные аиалитич. представления: интегралы, зависящие от параметра [интеграл типа Коши (см. Коши интеграл), Лапласа интеграл, интеграл Бореля (см. Бореля преобразование).и др.], замена переменного в степенном ряде, специальные способы суммирования степенных рядов [разложение Бореля в ряд многочленов, сходящийся в максимальном полигоне (см. Бореля метод суммирования), ряд Миттаг-Леффлера, сходящийся в максимальной звезде (см. Звезда элемента функции, Миттаг-Леффлера метод суммирования).и др.], принцип симметрии Римана - Шварца (см. Римана- Шварца принцип), функциональные и дифференциальные уравнения, определяющие функцию (напр., уравнение [img: http://localhost:8080/file/010128-82.jpg] для гамма-функции, условия периодичности, четности, симметрии и т. п.), аналитич. выражения через известные функции. К теме А. п. относятся также исследования о связи между исходным элементом аналитич. функции (рядом Тейлора) и свойствами полной аналитической функции, порождаемой этим элементом (см. [1]); результаты об особых точках (критерии особых точек, Адамара теорема мультипликационная, Фабри теорема об отношении) и особых линиях (теоремы о лакунах и непродолжаемости за границу круга сходимости, напр. Адамара теорема о лакунах, Фабри теорема о лакунах и др.), теоремы о сверхсходимости и о связях А. п. степенного ряда со свойствами целой функции, определяющей его коэффициенты, вопросы мероморфного продолжения, мероморфное продолжение при помощи Паде аппроксимаций и др. К А. п. следует отнести и теоремы об устранении особенностей (устранение изолированной особенности ограниченной голоморфной функции, устранение спрямляемых разрезов при условии непрерывности и т. п.), а также большой класс теорем об одновременном продолжении голоморфных функций многих комплексных переменных. В [img: http://localhost:8080/file/010128-83.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010128-84.jpg] имеются области, из к-рых любая голоморфная функция продолжается в более широкую область (в одномерном случае такого явления нет). Поэтому важной задачей А. п. функций многих комплексных переменных является описание этих более широких областей - так наз. голоморфных расширений, напр, известны описания голоморфности оболочек для Гартогса областей, л-круговых и трубчатых областей, теоремы об устранении компактных особенностей и особенностей коразмерности [img: http://localhost:8080/file/010128-85.jpg] Боголюбова теорема"острие клина" н теорема В. С. Владимирова о С-выпуклой оболочке (см. [3]). Известно несколько эффективных методов построения голоморфного расширения областей (см. [3]). А. п. функций действительного переменного сводится к А. п. голоморфных функций, т. к. для любой области [img: http://localhost:8080/file/010128-86.jpg] и любой функции [img: http://localhost:8080/file/010128-87.jpg], аналитической в [img: http://localhost:8080/file/010128-88.jpg], найдутся область [img: http://localhost:8080/file/010128-89.jpg] и голоморфная в [img: http://localhost:8080/file/010128-90.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/010128-91.jpg] такие, что [img: http://localhost:8080/file/010128-92.jpg]