Аппроксимативная производная

обобщение понятия производной, в к-ром обычный предел заменяется аппроксимативным пределом. Если для функции [img: http://localhost:8080/file/010130-21.jpg] действительного переменного [img: http://localhost:8080/file/010130-22.jpg] существует [img: http://localhost:8080/file/010130-23.jpg] то он наз. аппроксимативной производной функции [img: http://localhost:8080/file/010130-24.jpg] в точке [img: http://localhost:8080/file/010130-25.jpg] и обозначается [img: http://localhost:8080/file/010130-26.jpg]. В простейшем случае [img: http://localhost:8080/file/010130-27.jpg] есть действительная функция (в более общем случае - вектор-функция). А. п. может быть как конечной, так и бесконечной. Для А. п. функции f (x) в точке х 0 наз. верхняя грань множества тех [img: http://localhost:8080/file/010130-28.jpg], для к-рых [img: http://localhost:8080/file/010130-29.jpg] служит точкой разряжения множества [img: http://localhost:8080/file/010130-30.jpg]. Эти А. п. обозначаются соответственно [img: http://localhost:8080/file/010130-31.jpg] А. п. существует в том и только том случае, если верхний и нижний А. п. равны; их общее значение совпадает с А. п. В случае действительного [img: http://localhost:8080/file/010130-32.jpg] употребляются также односторонние (правый и левый) верхние и нижние А. п. (при этом требуется, чтобы [img: http://localhost:8080/file/010130-33.jpg] была соответственно правосторонней или левосторонней точкой плотности области определения функции). Для правого верхнего А. п. употребляют запись [img: http://localhost:8080/file/010130-34.jpg] аналогично записываются и другие случаи. Прп совпадении правых верхнего п нижнего А. п. получается правый А. п., при совпадении левых - левый А. п. А. п. был использован впервые А. Данжуа (A. Denjoy, 1915) и А. Я. Хинчиным (1916-18) при исследования дифференциальных связей неопределенного интеграла (в смысле Лебега и в смысле Данжуа - Хинчина) и под-интегральной функции (см. Аппроксимативная непрерывность, Аппроксимативная производная).