Аппроксимация периодическими преобразованиями

- один из методов в эргодической теории. Любой автоморфизм Тпространства Лебега Xс мерой [img: http://localhost:8080/file/010130-255.jpg] может быть получен как предел периодич. автоморфизмов [img: http://localhost:8080/file/010130-256.jpg] в естественной для пространства [img: http://localhost:8080/file/010130-257.jpg] всех автоморфизмов топологии, слабой или равномерной (см. [1]). При количественной характеристике скорости аппроксимации наряду с автоморфизмами [img: http://localhost:8080/file/010130-258.jpg] рассматривают инвариантные относительно [img: http://localhost:8080/file/010130-259.jpg] конечные измеримые разбиения X, т. е. разбиения ц пространства Xна конечное число непересекающихся измеримых множеств [img: http://localhost:8080/file/010130-260.jpg] которые автоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010130-261.jpg] переводит друг в друга. Ье-личина [img: http://localhost:8080/file/010130-262.jpg] оценивает близость [img: http://localhost:8080/file/010130-263.jpg] относительно разбиения [img: http://localhost:8080/file/010130-264.jpg]; здесь [img: http://localhost:8080/file/010130-265.jpg] - симметрическая разность: [img: http://localhost:8080/file/010130-266.jpg] При фиксированном [img: http://localhost:8080/file/010130-267.jpg] можно подобрать такие [img: http://localhost:8080/file/010130-268.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010130-269.jpg] (с указанными выше свойствами), что [img: http://localhost:8080/file/010130-270.jpg] оудет сколь угодно мало (см. [1]). варианты автоморфизма Твозникают при рассмотрении такой бесконечной последовательности [img: http://localhost:8080/file/010130-271.jpg] что для любого измеримого множества Аимеется последовательность множеств [img: http://localhost:8080/file/010130-272.jpg], целиком состоящая из нек-рых [img: http://localhost:8080/file/010130-273.jpg] и аппроксимирующая Ав том смысле, что [img: http://localhost:8080/file/010130-274.jpg] ("разбиения [img: http://localhost:8080/file/010130-275.jpg] сходятся к разбиению на точки"). Если при этом [img: http://localhost:8080/file/010130-276.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010130-277.jpg] - заданная монотонная последовательность, стремящаяся к нулю, то говорят, что ^допускает А. п. п. I рода со скоростью [img: http://localhost:8080/file/010130-278.jpg]; если, сверх того, [img: http://localhost:8080/file/010130-279.jpg] циклически переставляет множества [img: http://localhost:8080/file/010130-280.jpg] то говорят о циклической А. п. п. Другие варианты см. в [2], [6], [7]. При определенной скорости аппроксимации те или иные свойства периодпч. автоморфизмов [img: http://localhost:8080/file/010130-281.jpg] влияют на свойства предельного автоморфизма Т. Напр., если Тдопускает циклич. А. п. п. со скоростью с/n, то при [img: http://localhost:8080/file/010130-282.jpg] это гарантирует эргодичность Т, при [img: http://localhost:8080/file/010130-283.jpg] - отсутствие у Тперемешивания, а при [img: http://localhost:8080/file/010130-284.jpg] - простоту спектра соответствующего унитарного оператора сдвига. Нек-рые свойства Тмогут быть охарактеризованы в терминах скорости аппроксимации. Напр., его энтропия равна нижней грани тех с, для к-рых Тдопускает А. п. п. I рода со скоростью [img: http://localhost:8080/file/010130-285.jpg] (см. [2], [7]). А. п. п. применялась при исследовании ряда простых конкретных примеров (см. [2]), включая гладкие потоки на двумерных поверхностях (см., напр., [8]). При ее помощи был построен ряд динамич. систем с неожиданными метрич. свойствами (см. [2], [6], [7]) или с неожиданным сочетанием метрич. свойств с дифференциальными (см. [3], [4]). Утверждение о плотности периодич. автоморфизмов в [img: http://localhost:8080/file/010130-286.jpg], снабженном слабой топологией, может быть существенно усилено: для любой монотонной последовательности [img: http://localhost:8080/file/010130-287.jpg] автоморфизмы, допускающие циклич. А. п. п. со скоростью [img: http://localhost:8080/file/010130-288.jpg], образуют в [img: http://localhost:8080/file/010130-289.jpg] множество II категории (см. [2]). Поэтому А. п. п. позволяет получать так наз. категорные теоремы, утверждающие, что в [img: http://localhost:8080/file/010130-290.jpg] (со слабой топологией) автоморфизмы с тем или иным свойством образуют множество I или II категории (напр., эргодические множества - II категории, а перемешивающие -I категории, см. [1]). Пусть X - топологическое или гладкое многообразие, а мера m. согласована с топологией или гладкостью. В классе гомеоморфизмов или диффеоморфизмов, сохраняющих (.1, естественными являются не слабая, а другие топологии. Для гомеоморфизмов справедливы категорные теоремы, сходные с имеющимися для 31 (историю и современное состояние проблемы см. в [5]).