Арифметическая функция

теоретико-числовая функция,- комплекснозначная функция, областью определения к-рой может служить одно из множеств: множество натуральных чисел, множество целых рациональных чисел, множество целых идеалов фиксированного алгебранч. числового поля, решетка в многомерном координатном пространстве и т. п. Это - А. ф. в широком смысле. Однако часто под А. ф. понимается функция указанного типа, обладающая нек-рымн специальными арифметич. свойствами. Наиболее употребительные А. ф. имеют традиционные символич. обозначения: [img: http://localhost:8080/file/010131-165.jpg] - Эйлера функция, [img: http://localhost:8080/file/010131-166.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010131-167.jpg] - делителей число, [img: http://localhost:8080/file/010131-168.jpg] - Мёбиуса функция, [img: http://localhost:8080/file/010131-169.jpg] - Манголъдта функция, [img: http://localhost:8080/file/010131-170.jpg] - сумма делителей числа п. К А. ф. относят также целую часть числа [img: http://localhost:8080/file/010131-171.jpg] и дробную часть числа [img: http://localhost:8080/file/010131-172.jpg]. Изучаются А. ф., выражающие число решений уравнения; напр., [img: http://localhost:8080/file/010131-173.jpg] - число решений в целых числах [img: http://localhost:8080/file/010131-174.jpg]. уравнения [img: http://localhost:8080/file/010131-175.jpg] в Гольдбаха проблеме: [img: http://localhost:8080/file/010131-176.jpg] - число решений в простых числах уравнения [img: http://localhost:8080/file/010131-177.jpg] Другие А. ф. выражают количество чисел с к.-л. условиями; напр., функция [img: http://localhost:8080/file/010131-178.jpg] - число простых чисел, не превосходящих х, характеризует распределение простых чисел; [img: http://localhost:8080/file/010131-179.jpg] - число не превосходящих хпростых чисел в арифметич. прогрессии [img: http://localhost:8080/file/010131-180.jpg] Со свойствами простых чисел связаны также Чебышева функции: [img: http://localhost:8080/file/010131-181.jpg] - сумма натуральных логарифмов простых чисел до [img: http://localhost:8080/file/010131-182.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010131-183.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010131-184.jpg] В алгебраич. теории чисел рассматриваются обобщения названных А. ф. натурального аргумента. Напр., в алгебраич. поле Кстепени пдля целого идеала [img: http://localhost:8080/file/010132-1.jpg] вводится функция Эйлера [img: http://localhost:8080/file/010132-2.jpg] - число классов вычетов по идеалу [img: http://localhost:8080/file/010132-3.jpg], взаимно простых с [img: http://localhost:8080/file/010132-4.jpg] А. ф. возникают и используются при изучении свойств чисел. Однако теория А. ф. представляет и самостоятельный интерес. Закономерность изменения А.